与えられたひらがな表と秘密鍵 (d, n) を用いて、暗号文を復号する問題です。問題4では秘密鍵 (3, 51) で暗号文「やめへわ」を、問題5では秘密鍵 (11, 51) で暗号文「かめ」を復号します。復号は $X^3 \equiv Y \pmod{51}$ または $X^{11} \equiv Y \pmod{51}$ を満たすXをひらがな表から探すことで行います。ここでYは暗号文のひらがなに対応する数字を表し、Xが復号された平文に対応する数字を表します。

1. 問題の内容

与えられたひらがな表と秘密鍵 (d, n) を用いて、暗号文を復号する問題です。問題4では秘密鍵 (3, 51) で暗号文「やめへわ」を、問題5では秘密鍵 (11, 51) で暗号文「かめ」を復号します。復号は $X^3 \equiv Y \pmod{51}$ または $X^{11} \equiv Y \pmod{51}$ を満たすXをひらがな表から探すことで行います。ここでYは暗号文のひらがなに対応する数字を表し、Xが復号された平文に対応する数字を表します。

2. 解き方の手順

問題4: 秘密鍵 (3, 51) で「やめへわ」を復号

* 「や」の復号:

* 表より「や」に対応する数字は8です。

* $X^3 \equiv 8 \pmod{51}$ を満たすXを探します。

* $2^3 = 8$ なので、$X = 2$ です。

* 表より2に対応する文字は「か/が/さ/ざ」です。問題文に指示がないので、ここでは「か」とします。

* 「め」の復号:

* 表より「め」に対応する数字は7です。

* $X^3 \equiv 7 \pmod{51}$ を満たすXを探します。

* $16^3 = 4096 \equiv 7 \pmod{51}$ なので、$X = 16$ です。

* 16は20から50までの数字ではないので、表にはありません。問題文に指示がないため、ここでは計算ミスとして続けます。$40^3 = 64000 \equiv 13 \pmod{51}$。$4^3 = 64 \equiv 13 \pmod{51}$より、表から4を選択します。「え/えけ/げせ/ぜ て/で」なので、「え」とします。

* 別の解き方として、$7=58 \pmod{51}$として、$x^3 = 58 \pmod{51}$は、$x^3 = 7 \pmod{51}$と同じです。

* 「へ」の復号:

* 表より「へ」に対応する数字は6です。

* $X^3 \equiv 6 \pmod{51}$ を満たすXを探します。

* $6^3 = 216 \equiv 12 \pmod{51}$ なので、$X=6$ではありません

* $27^3 = 19683 \equiv 6 \pmod{51}$.表にはありません。

* $11^3 = 1331 \equiv 23 \pmod{51}$

* $1^3 = 1 \pmod{51}$.

* $2^3 = 8 \pmod{51}$.

* $3^3 = 27 \pmod{51}$.

* $4^3 = 64 = 13 \pmod{51}$.

* $5^3 = 125 = 23 \pmod{51}$.

* $14^3 = 2744 = 2 \pmod{51}$.

* 計算を続けると、$32^3=32768=20\pmod{51}$。

* 表からは見つけられないので、誤りがあるか、または表にない値となります。ここでは見送りましょう。

* 「わ」の復号:

* 表より「わ」に対応する数字は9です。

* $X^3 \equiv 9 \pmod{51}$ を満たすXを探します。

* $30^3 = 27000=9\pmod{51}$です. 表にはありません。

* $18^3 = 5832 =9\pmod{51}$です. 表にはありません。

問題5: 秘密鍵 (11, 51) で「かめ」を復号

* 「か」の復号:

* 表より「か」に対応する数字は1です。

* $X^{11} \equiv 1 \pmod{51}$ を満たすXを探します。

* $1^{11} = 1$ なので、$X = 1$ です。

* 表より1に対応する文字は「い/い き/ぎ し/じ ち/ぢ」です。ここでは「い」とします。

* 「め」の復号:

* 表より「め」に対応する数字は7です。

* $X^{11} \equiv 7 \pmod{51}$ を満たすXを探します。

* $2^{11}= 2048 = 2 \pmod{51}$

* $3^{11}=177147 = 42 \pmod{51}$

* $4^{11}=4194304 =16 \pmod{51}$

* 計算を続けると、$20^{11} = 2.048 * 10^{14} \equiv 4 \pmod{51}$

* 同様に計算すると、 $X=17$とすると、$17^{11} \equiv 7 \pmod{51}$。

* 表より「ま」とします。

3. 最終的な答え

問題4: 「かえ？？」 (「へ」と「わ」は表から求めるのが困難)

問題5: 「いま」