数列 $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \frac{1}{6}, \dots$ が与えられています。 (1) $\frac{64}{77}$ は第何項であるかを求めます。 (2) 第800項を求めます。

1. 問題の内容

数列 $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \frac{1}{6}, \dots$ が与えられています。

(1) $\frac{64}{77}$ は第何項であるかを求めます。

(2) 第800項を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{64}{77}$ について考えます。

数列の分母が $n$ である項の個数は $n-1$ 個です。

分母が2から77までの項の個数の合計は、

$1 + 2 + 3 + \dots + 76 = \frac{76 \times 77}{2} = 38 \times 77 = 2926$

$\frac{64}{77}$ は分母が77の項のうち、64番目の項です。

したがって、$\frac{64}{77}$ は、

$2926 + 64 = 2990$

第2990項です。

(2) 第800項について考えます。

分母が $n$ である項までの個数の合計を $S_n$ とすると、

$S_n = \frac{n(n-1)}{2}$

$S_n$ が800に最も近い $n$ を求めます。

$\frac{n(n-1)}{2} \le 800$

$n(n-1) \le 1600$

$n^2 - n - 1600 \le 0$

$n$ が整数のとき、$n \approx 40$ なので、 $n=40$ を試します。

$S_{40} = \frac{40 \times 39}{2} = 20 \times 39 = 780$

$S_{41} = \frac{41 \times 40}{2} = 41 \times 20 = 820$

よって、分母が40までの項の個数は780個です。

第800項は、分母が41の項のうち、 $800 - 780 = 20$ 番目の項です。

したがって、第800項は $\frac{20}{41}$ です。

3. 最終的な答え

(1) 2990

(2) $\frac{20}{41}$