正の整数 $n$ に対して、$n$ の正の約数すべての和を $\sigma(n)$ と表す。$100$ 以上 $150$ 以下の $10$ の倍数 $n$ のうち、$\frac{\sigma(n)}{n}$ が整数の値をとる $n$ が1つだけ存在する。その $n$ とそのときの $\frac{\sigma(n)}{n}$ の値をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

正の整数 $n$ に対して、$n$ の正の約数すべての和を $\sigma(n)$ と表す。$100$ 以上 $150$ 以下の $10$ の倍数 $n$ のうち、$\frac{\sigma(n)}{n}$ が整数の値をとる $n$ が1つだけ存在する。その $n$ とそのときの $\frac{\sigma(n)}{n}$ の値をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

まず、$100$以上$150$以下の$10$の倍数を列挙する。

$n = 100, 110, 120, 130, 140, 150$

次に、それぞれの$n$について$\sigma(n)$を計算する。

$n=100 = 2^2 \times 5^2$, $\sigma(100) = (1+2+2^2)(1+5+5^2) = 7 \times 31 = 217$。$\frac{\sigma(100)}{100} = \frac{217}{100} = 2.17$

$n=110 = 2 \times 5 \times 11$, $\sigma(110) = (1+2)(1+5)(1+11) = 3 \times 6 \times 12 = 216$。$\frac{\sigma(110)}{110} = \frac{216}{110} = \frac{108}{55}$

$n=120 = 2^3 \times 3 \times 5$, $\sigma(120) = (1+2+2^2+2^3)(1+3)(1+5) = 15 \times 4 \times 6 = 360$。$\frac{\sigma(120)}{120} = \frac{360}{120} = 3$

$n=130 = 2 \times 5 \times 13$, $\sigma(130) = (1+2)(1+5)(1+13) = 3 \times 6 \times 14 = 252$。$\frac{\sigma(130)}{130} = \frac{252}{130} = \frac{126}{65}$

$n=140 = 2^2 \times 5 \times 7$, $\sigma(140) = (1+2+2^2)(1+5)(1+7) = 7 \times 6 \times 8 = 336$。$\frac{\sigma(140)}{140} = \frac{336}{140} = \frac{168}{70} = \frac{84}{35} = \frac{12}{5}$

$n=150 = 2 \times 3 \times 5^2$, $\sigma(150) = (1+2)(1+3)(1+5+5^2) = 3 \times 4 \times 31 = 372$。$\frac{\sigma(150)}{150} = \frac{372}{150} = \frac{186}{75} = \frac{62}{25}$

$n=120$ のとき、$\frac{\sigma(120)}{120}=3$ が整数となる。

3. 最終的な答え

$n = 120$, $\frac{\sigma(n)}{n} = 3$