整数 $m$ に対して、「$m^2$ が偶数ならば $m$ も偶数である」という命題が成り立つことを、背理法を用いて証明せよ。

1. 問題の内容

整数 $m$ に対して、「$m^2$ が偶数ならば $m$ も偶数である」という命題が成り立つことを、背理法を用いて証明せよ。

2. 解き方の手順

背理法を用いるので、まず命題を否定します。

元の命題は「$m^2$ が偶数ならば $m$ も偶数である」なので、否定は「$m^2$ が偶数であるのに $m$ が奇数である」となります。

$m$ が奇数であると仮定すると、$m$ はある整数 $k$ を用いて $m = 2k + 1$ と表せます。

このとき、$m^2$ は

$$m^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$$

となります。

$2k^2 + 2k$ は整数なので、$m^2$ は奇数であることがわかります。

これは、$m^2$ が偶数であるという仮定に矛盾します。

したがって、「$m^2$ が偶数であるのに $m$ が奇数である」という仮定は誤りであり、「$m^2$ が偶数ならば $m$ も偶数である」が正しいことが証明されました。

3. 最終的な答え

整数 $m$ に対して、「$m^2$ が偶数ならば $m$ も偶数である」ことが背理法によって証明された。