$\sqrt{2}$ が、整数 $m, n$ を用いた分数 $\frac{n}{m}$ の形で表せないことを証明する問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{2}$ が、整数 $m, n$ を用いた分数 $\frac{n}{m}$ の形で表せないことを証明する問題です。

2. 解き方の手順

背理法を使って証明します。

(1) $\sqrt{2} = \frac{n}{m}$ と仮定します。ここで $m, n$ は互いに素な正の整数とします。これは、もし $m$ と $n$ に共通の約数があれば、約分して互いに素な形にできるからです。

(2) 上記の式を2乗すると、

$2 = \frac{n^2}{m^2}$

となります。

(3) 両辺に $m^2$ を掛けると、

$2m^2 = n^2$

となります。

(4) この式から、$n^2$ は偶数であることがわかります。したがって、$n$ も偶数です。なぜなら、もし $n$ が奇数なら、$n^2$ も奇数になるからです。

(5) $n$ が偶数なので、$n = 2k$ ( $k$ は整数) と表すことができます。この式を$2m^2 = n^2$ に代入すると、

$2m^2 = (2k)^2 = 4k^2$

となります。

(6) 両辺を2で割ると、

$m^2 = 2k^2$

となります。

(7) この式から、$m^2$ は偶数であることがわかります。したがって、$m$ も偶数です。

(8) ここで、$m$ と $n$ は両方とも偶数であるという結論が得られました。しかし、これは最初に $m$ と $n$ が互いに素であると仮定したことに矛盾します。

(9) したがって、$\sqrt{2} = \frac{n}{m}$ という仮定が誤りであることが証明されました。

3. 最終的な答え

$\sqrt{2}$ は分数 $\frac{n}{m}$ ( $m, n$ は整数) の形で表せない。