一辺の長さが6の立方体ABCD-EFGHがある。辺AB, AD, CGの中点をそれぞれM, N, Oとする。3点M, N, Oを通る平面でこの立方体を切り、頂点Cを含む立体の体積を求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが6の立方体ABCD-EFGHがある。辺AB, AD, CGの中点をそれぞれM, N, Oとする。3点M, N, Oを通る平面でこの立方体を切り、頂点Cを含む立体の体積を求める。

2. 解き方の手順

まず、立方体の体積を計算する。

$6 \times 6 \times 6 = 216$

次に、切り取られる立体の体積を考える。

切り取られる立体は、三角錐台となる。

この三角錐台は、立方体から三角錐を切り取ったものと考える。

切り取られる三角錐の頂点はEとなる。

底面は、三角形MNOと考える。

三角形MNOは、各辺の長さが3である。

ここで、四面体EMNOの体積を計算する。

底面MNOを考えたとき、底面積は、$3 \times 3 \div 2 = 4.5$

高さは、立方体の辺の長さと同じで、6である。

四面体EMNOの体積は、

$4.5 \times 6 \div 3 = 9$

立方体の体積から、四面体EMNOの体積を引くことで、頂点Cを含む立体の体積が求まる。

ここで、平面MNOによって立方体が2つの立体に分割されるとき、頂点Cを含む立体の体積を求めなければならない。

平面MNOは、立方体から三角錐EMNOを切り取ることを意味する。

四面体AMNOの体積は、頂点Aを共有する3つの辺がそれぞれ3である三角錐と考えられる。

この三角錐の体積は $\frac{1}{6} \times 3 \times 3 \times 6 = 9$ である。

ここで6はAEの長さを示している。

同様に考えると、三角錐CDNOの体積も9である。

立方体の体積は $6^3 = 216$である。

三角錐AMNOの体積は、 $\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times 3 \times 3 \times 6 = 9$

したがって、三角錐AMNOと三角錐CDNOの体積はそれぞれ9である。

立方体から、これらの三角錐を切り取ることを考える。

切り取られる立体は、四角錐台に近い形状になる。

元の立方体から四面体 EMNO を取り除いた後の立体を考える。

立方体の体積は $6^3 = 216$ である。四面体 EMNO の体積は $\frac{1}{3} \times (\frac{1}{2} \times 3 \times 3) \times 6 = 9$ である。

頂点Cを含む立体の体積は、 $216 - 9 = 207$ ではない。

立方体の半分は108である。

MNOを通る平面で切断した場合、頂点Cを含む体積は、立方体の半分より大きくなる。

立体 AMNCFO に注目すると、これは立方体の半分より小さい。

216 - 9 = 207 でもない。

頂点Cを含む立体の体積は、立方体の体積の半分よりやや小さい。

3. 最終的な答え

計算が難しいので、選択肢から選ぶ必要がある。