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図3のように、円錐を底面に平行な平面で、高さが3等分されるように3つの立体に分けた。真ん中の立体の体積が$1 cm^3$であるとき、一番下の立体の体積を求めよ。

幾何学体積円錐相似立体図形
2025/5/27

1. 問題の内容

図3のように、円錐を底面に平行な平面で、高さが3等分されるように3つの立体に分けた。真ん中の立体の体積が1cm31 cm^3であるとき、一番下の立体の体積を求めよ。

2. 解き方の手順

円錐を底面に平行な平面で高さが3等分されるように切断すると、3つの立体ができる。それぞれの高さをhhとすると、小さい円錐から順に高さはhh, 2h2h, 3h3hとなる。
相似比は1:2:31:2:3なので、体積比は13:23:33=1:8:271^3:2^3:3^3=1:8:27となる。
一番上の円錐の体積をV1V_1とすると、
2番目の円錐の体積は8V18V_1,
3番目の円錐の体積は27V127V_1となる。
したがって、
一番上の立体の体積はV1V_1,
真ん中の立体の体積は8V1−V1=7V18V_1 - V_1 = 7V_1,
一番下の立体の体積は27V1−8V1=19V127V_1 - 8V_1 = 19V_1となる。
問題文より、真ん中の立体の体積は1cm31 cm^3なので、7V1=17V_1 = 1となる。
よって、V1=17V_1 = \frac{1}{7}となる。
一番下の立体の体積は19V119V_1なので、19V1=19×17=19719V_1 = 19 \times \frac{1}{7} = \frac{19}{7}となる。

3. 最終的な答え

197cm3\frac{19}{7} cm^3

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## 問題の内容

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