問題は以下の2つの極限を求めることです。 (1) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{3x^2}{\cos x - 1}$

1. 問題の内容

問題は以下の2つの極限を求めることです。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{3x^2}{\cos x - 1}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$

これは $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を使うことができます。

分子と分母をそれぞれ微分すると、

$\frac{d}{dx}(e^x - 1) = e^x$

$\frac{d}{dx}(x) = 1$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1} = e^0 = 1$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{3x^2}{\cos x - 1}$

これも $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を使うことができます。

分子と分母をそれぞれ微分すると、

$\frac{d}{dx}(3x^2) = 6x$

$\frac{d}{dx}(\cos x - 1) = -\sin x$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{3x^2}{\cos x - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{6x}{-\sin x}$

これも $\frac{0}{0}$ の不定形なので、再びロピタルの定理を使うことができます。

分子と分母をそれぞれ微分すると、

$\frac{d}{dx}(6x) = 6$

$\frac{d}{dx}(-\sin x) = -\cos x$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{6x}{-\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{6}{-\cos x} = \frac{6}{-\cos 0} = \frac{6}{-1} = -6$

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{3x^2}{\cos x - 1} = -6$