全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ の部分集合 $A = \{1, 2, 5\}$ と $B = \{3, a\}$ がある。$A \cap B = \phi$ であるとき、$a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ の部分集合 $A = \{1, 2, 5\}$ と $B = \{3, a\}$ がある。$A \cap B = \phi$ であるとき、$a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$A \cap B = \phi$ は、集合 $A$ と $B$ に共通の要素がないことを意味します。

$A = \{1, 2, 5\}$ であり、$B = \{3, a\}$ です。$A$ と $B$ に共通の要素がないためには、$a$ は $A$ の要素であってはなりません。つまり、$a$ は 1, 2, 5 であってはなりません。

また、$B$ は $U$ の部分集合なので、$a$ は $U$ の要素である必要があります。つまり、$a$ は 1, 2, 3, 4, 5 のいずれかである必要があります。

$a$ は 1, 2, 5 であってはならず、かつ $a$ は 1, 2, 3, 4, 5 のいずれかである必要があるので、$a$ は 3 または 4 です。

しかし、$B = \{3, a\}$ であり、$A \cap B = \phi$ であるためには、$B$ が $A$ と共通の要素を持ってはいけません。$B$ は既に 3 という要素を持っているので、$A$ と $B$ が共通の要素を持たないためには、$a$ は 1, 2, 5 以外の $U$ の要素である必要があります。

したがって、$a$ は 4 である必要があります。

3. 最終的な答え

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