50人の生徒に、野球、バレーボール、テニスの中から好きなものを聞いた結果、以下のことがわかっている。 - 野球が好きな生徒は30人 - バレーボールが好きな生徒は20人 - テニスが好きな生徒は15人 - 2種類だけ好きな生徒は10人 - 3種類全て好きな生徒は5人 3種類とも好きでない生徒の人数を求める。

1. 問題の内容

50人の生徒に、野球、バレーボール、テニスの中から好きなものを聞いた結果、以下のことがわかっている。

- 野球が好きな生徒は30人

- バレーボールが好きな生徒は20人

- テニスが好きな生徒は15人

- 2種類だけ好きな生徒は10人

- 3種類全て好きな生徒は5人

3種類とも好きでない生徒の人数を求める。

2. 解き方の手順

まず、ベン図を考えて、各領域に人数を割り当てていく。

野球、バレーボール、テニスをそれぞれA, B, Cとする。

$n(A) = 30$

$n(B) = 20$

$n(C) = 15$

2種類だけ好きな生徒は10人なので、$n(A \cap B) + n(B \cap C) + n(C \cap A) - 3n(A \cap B \cap C)$にあたる。　3種目全て好きな生徒は5人なので、$n(A \cap B \cap C) = 5$。

1種類だけ好きな生徒の数を求める。

全体から２種類だけ好きな生徒と３種類好きな生徒を引いたものが、１種類以上好きな生徒の数となる。

合計人数から３種類とも好きでない生徒の数を引けば、1種類以上好きな生徒の数となるので、

$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(C \cap A) + n(A \cap B \cap C)$

$n(A \cup B \cup C) = 30 + 20 + 15 - (n(A \cap B) + n(B \cap C) + n(C \cap A)) + 5$

$n(A \cup B \cup C) = 70 - (n(A \cap B) + n(B \cap C) + n(C \cap A))$

2種類だけ好きな生徒の数は、$n(A \cap B) + n(B \cap C) + n(C \cap A) - 3 * 5 = 10$。

よって、$n(A \cap B) + n(B \cap C) + n(C \cap A) = 10 + 15 = 25$

$n(A \cup B \cup C) = 70 - 25 + 5 = 50$。

したがって、全部で５０人なので、３種類とも好きでない生徒はいないことになる。

ここで、ベン図を用いて、１種類だけ好き、２種類だけ好き、３種類好きということを利用して考える。

1種類だけ好きな生徒数をx, 2種類だけ好きな生徒数をy, 3種類好きな生徒数をzとする。

x + y + z = 50 - (3種目とも好きでない人数)

y = 10

z = 5

野球が好きだけでバレーボールとテニスが好きでない生徒数 a

バレーボールが好きだけで野球とテニスが好きでない生徒数 b

テニスが好きだけで野球とバレーボールが好きでない生徒数 c

a+b+c + 10 + 5 = 50 - (3種目とも好きでない人数)

a + (野球とバレーボールが好きでテニスが好きでない生徒数) + (野球とテニスが好きでバレーボールが好きでない生徒数) + (野球とバレーボールとテニスが好き生徒数) = 30

b + (バレーボールと野球が好きでテニスが好きでない生徒数) + (バレーボールとテニスが好きで野球が好きでない生徒数) + (野球とバレーボールとテニスが好き生徒数) = 20

c + (テニスと野球が好きでバレーボールが好きでない生徒数) + (テニスとバレーボールが好きで野球が好きでない生徒数) + (野球とバレーボールとテニスが好き生徒数) = 15

野球とバレーボールが好きでテニスが好きでない生徒数 + バレーボールとテニスが好きで野球が好きでない生徒数 + テニスと野球が好きでバレーボールが好きでない生徒数 = 10

野球とバレーボールとテニスが好き生徒数 = 5

a + (野球とバレーボールが好きでテニスが好きでない生徒数) + (野球とテニスが好きでバレーボールが好きでない生徒数) = 25

b + (バレーボールと野球が好きでテニスが好きでない生徒数) + (バレーボールとテニスが好きで野球が好きでない生徒数) = 15

c + (テニスと野球が好きでバレーボールが好きでない生徒数) + (テニスとバレーボールが好きで野球が好きでない生徒数) = 10

a+b+c + 2*(野球とバレーボールが好きでテニスが好きでない生徒数 + バレーボールとテニスが好きで野球が好きでない生徒数 + テニスと野球が好きでバレーボールが好きでない生徒数) = 25+15+10=50

a+b+c + 20 = 50

a+b+c = 30

30+10+5+(3種目とも好きでない生徒数) = 50

3種目とも好きでない生徒数 = 5

3. 最終的な答え

5人