1つのサイコロを5回続けて投げるとき、以下の確率を求めます。 (1) 偶数の目が4回以上出る確率 (2) 5回目に3度目の6が出る確率

1. 問題の内容

1つのサイコロを5回続けて投げるとき、以下の確率を求めます。

(1) 偶数の目が4回以上出る確率

(2) 5回目に3度目の6が出る確率

2. 解き方の手順

(1) 偶数の目が4回以上出る確率

サイコロの偶数の目が出る確率は $1/2$ です。

5回のうち、偶数の目が4回出る場合と5回出る場合に分けて考えます。

- 偶数の目が4回出る場合:

5回中4回偶数が出る組み合わせは ${}_5 \mathrm{C}_4 = 5$ 通りです。

確率は $5 \times (1/2)^4 \times (1/2)^1 = 5 \times (1/2)^5 = 5/32$ です。

- 偶数の目が5回出る場合:

5回すべて偶数が出る組み合わせは ${}_5 \mathrm{C}_5 = 1$ 通りです。

確率は $1 \times (1/2)^5 = 1/32$ です。

したがって、求める確率は

$\frac{5}{32} + \frac{1}{32} = \frac{6}{32} = \frac{3}{16}$

となります。

(2) 5回目に3度目の6が出る確率

5回目に3度目の6が出るということは、最初の4回で6が2回出ていて、5回目に6が出る必要があります。

最初の4回で6が2回出る確率は、二項分布で計算できます。

${}_4 \mathrm{C}_2 \times (\frac{1}{6})^2 \times (\frac{5}{6})^2 = 6 \times \frac{1}{36} \times \frac{25}{36} = \frac{150}{1296} = \frac{25}{216}$

5回目に6が出る確率は $\frac{1}{6}$ です。

したがって、求める確率は

$\frac{25}{216} \times \frac{1}{6} = \frac{25}{1296}$

となります。

3. 最終的な答え

(1) 偶数の目が4回以上出る確率は $\frac{3}{16}$

(2) 5回目に3度目の6が出る確率は $\frac{25}{1296}$