$(3x^2 + 5)^4$ の展開式における $x^4$ の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

$(3x^2 + 5)^4$ の展開式における $x^4$ の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

二項定理を用いて展開します。二項定理は、一般に $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k a^{n-k} b^k$ と表されます。

この問題では、$a = 3x^2$, $b = 5$, $n = 4$ です。

$x^4$ の項は、$(3x^2)^2$ が現れるときに得られます。つまり、$k=2$のときです。

二項係数 ${}_4 C_2$ を計算します。

${}_4 C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

$x^4$ の項は、${}_4 C_2 (3x^2)^2 (5)^2$ となります。

これを計算すると、

$6 \times (9x^4) \times 25 = 6 \times 9 \times 25 x^4 = 54 \times 25 x^4 = 1350x^4$

3. 最終的な答え

$x^4$ の係数は 1350 です。