与えられた積分 $\int \frac{1}{x(1 + \log x)} dx$ を計算する。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{1}{x(1 + \log x)} dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

この積分を解くには、置換積分法を用いるのが適切です。

まず、$u = 1 + \log x$ と置きます。

このとき、両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{x}$

となります。

したがって、$du = \frac{1}{x} dx$ が得られます。

元の積分は、

$\int \frac{1}{x(1 + \log x)} dx = \int \frac{1}{1 + \log x} \cdot \frac{1}{x} dx = \int \frac{1}{u} du$

と書き換えられます。

$\int \frac{1}{u} du = \log |u| + C$

です。ここで、$C$ は積分定数です。

最後に、$u = 1 + \log x$ を代入して、

$\log |1 + \log x| + C$

を得ます。

3. 最終的な答え

$\log |1 + \log x| + C$