関数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ と関数 $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ の合成関数 $g \circ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ について、以下の命題が正しいかどうか判定し、正しければ証明し、正しくなければ反例を挙げよ。 (1) $g \circ f$ が連続関数ならば、$f$ も連続関数である。 (2) $g \circ f$ が連続関数ならば、$g$ も連続関数である。

1. 問題の内容

関数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ と関数 $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ の合成関数 $g \circ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ について、以下の命題が正しいかどうか判定し、正しければ証明し、正しくなければ反例を挙げよ。

(1) $g \circ f$ が連続関数ならば、$f$ も連続関数である。

(2) $g \circ f$ が連続関数ならば、$g$ も連続関数である。

2. 解き方の手順

(1) $g \circ f$ が連続関数でも、$f$ が連続関数とは限らないことを示す反例を挙げる。

$f(x) = \begin{cases} 0 & (x \in \mathbb{Q}) \\ 1 & (x \notin \mathbb{Q}) \end{cases}$

$g(x) = \begin{cases} 1 & (x = 0) \\ 0 & (x \ne 0) \end{cases}$

このとき、

$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = \begin{cases} g(0) = 1 & (x \in \mathbb{Q}) \\ g(1) = 0 & (x \notin \mathbb{Q}) \end{cases}$

ところが、$g \circ f$ が $x=0$ で連続になるようにするためには、 $x=0$ に近い無理数についても、$g \circ f$ が $1$ に近い値をとらなければならない。しかし、$x$ が無理数であるとき、$g \circ f (x) = 0$ なので、$g \circ f$ は $x=0$ で連続ではない。

$g \circ f$ はすべての $x$ で不連続な関数である。

ここで、

$f(x) = \begin{cases} 0 & (x \ne 0) \\ 1 & (x = 0) \end{cases}$

$g(x) = \begin{cases} 0 & (x = 1) \\ 1 & (x \ne 1) \end{cases}$

とすると、

$g(f(x)) = 1$ となり、$g \circ f$ は連続関数である。しかし、$f$ は $x=0$ で不連続である。

(2) $g \circ f$ が連続関数でも、$g$ が連続関数とは限らないことを示す反例を挙げる。

$f(x) = \begin{cases} 0 & (x \in \mathbb{R}) \end{cases}$

$g(x) = \begin{cases} 1 & (x = 0) \\ 0 & (x \ne 0) \end{cases}$

このとき、

$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(0) = 1$ となり、$g \circ f$ は連続関数である。

しかし、$g$ は $x=0$ で不連続である。

3. 最終的な答え

(1) 正しくない。反例: $f(x) = \begin{cases} 0 & (x \ne 0) \\ 1 & (x = 0) \end{cases}$, $g(x) = \begin{cases} 0 & (x = 1) \\ 1 & (x \ne 1) \end{cases}$

(2) 正しくない。反例: $f(x) = 0$, $g(x) = \begin{cases} 1 & (x = 0) \\ 0 & (x \ne 0) \end{cases}$