1.5kW、2極の一般用E種モーターの軸径が24mmである。 伝達トルクおよび軸に生じるせん断応力を求めよ。 また、軸の許容せん断応力を20MPaとするとき、さらにどのくらいの曲げモーメントを許容できるか求めよ。 ただし、周波数は50Hz、全負荷すべりは7%とする。

1. 問題の内容

1.5kW、2極の一般用E種モーターの軸径が24mmである。

伝達トルクおよび軸に生じるせん断応力を求めよ。

また、軸の許容せん断応力を20MPaとするとき、さらにどのくらいの曲げモーメントを許容できるか求めよ。

ただし、周波数は50Hz、全負荷すべりは7%とする。

2. 解き方の手順

まず、モーターの回転数を計算します。周波数 $f$ と極数 $p$ から同期速度 $N_s$ を計算し、すべり $s$ を考慮して実際の回転数 $N$ を求めます。

$N_s = \frac{120f}{p}$

$f = 50$ Hz, $p = 2$ より、

$N_s = \frac{120 \times 50}{2} = 3000$ rpm

次に、すべりを考慮して実際の回転数 $N$ を求めます。すべり $s = 7\% = 0.07$ なので、

$N = N_s (1 - s) = 3000 (1 - 0.07) = 3000 \times 0.93 = 2790$ rpm

回転数をrad/sに変換します。

$\omega = \frac{2\pi N}{60} = \frac{2\pi \times 2790}{60} \approx 292.0$ rad/s

次に、伝達トルク $T$ を計算します。出力 $P = 1.5$ kW = 1500 Wを用いて、

$T = \frac{P}{\omega} = \frac{1500}{292.0} \approx 5.14$ N・m

次に、軸に生じるせん断応力 $\tau$ を計算します。軸の半径 $r = 24/2 = 12$ mm = $0.012$ mを用いて、

$\tau = \frac{16T}{\pi d^3}$

$d=24$ mm = $0.024$ mなので、

$\tau = \frac{16 \times 5.14}{\pi \times (0.024)^3} \approx 1.89 \times 10^6$ Pa $= 1.89$ MPa

軸の許容せん断応力 $\tau_{allowable} = 20$ MPa より、許容トルク $T_{allowable}$ を計算します。

$T_{allowable} = \frac{\pi d^3 \tau_{allowable}}{16} = \frac{\pi \times (0.024)^3 \times 20 \times 10^6}{16} \approx 135.7$ N・m

許容曲げモーメント $M$ を求めます。トルクと曲げモーメントによる相当トルクを考えます。

$T_{eq} = \sqrt{T^2 + M^2} = T_{allowable}$

$M = \sqrt{T_{allowable}^2 - T^2} = \sqrt{(135.7)^2 - (5.14)^2} \approx 135.6$ N・m

許容曲げモーメントは、現在のトルクを加味したものであるため、増加分を求めるためには、

$T_{allowable}$ を $T$ として考えると、$T \approx 5.14$ なので、

$M = \sqrt{T_{allowable}^2 - T^2}=\sqrt{T_{allowable}^2 - (5.14)^2} \approx \sqrt{(135.7)^2 - (5.14)^2} \approx 135.6$ Nmとなる。

したがって、許容曲げモーメントはほぼ $135.6$ Nm となる。

与えられたせん断応力 $20$ MPa を超えないためには、現在のトルクと曲げモーメントの二乗和の平方根が $T_{allowable}$ を超えないようにする必要がある。

現在のトルクを $T = 5.14$ Nm とすると、追加で許容される曲げモーメント $M$ は、

$M = \sqrt{(T_{allowable})^2 - T^2} \approx \sqrt{(135.7)^2 - (5.14)^2} \approx 135.6 \text{ Nm}$

ただし、この結果は、問題文の意図と異なる可能性がある。問題文では、曲げモーメントがどれだけ許容できるかを聞いている。現在のトルクで生じている応力分を考慮して、曲げモーメントによって生じる応力を制限する必要がある。

軸のねじり応力と曲げ応力が同時に作用する場合の計算は、通常、相当曲げモーメントまたは相当ねじりモーメントを用いて行われる。

まず、現在のトルクによって発生するねじり応力 $\tau = 1.89$ MPa である。許容せん断応力は20MPaなので、追加で許容できるせん断応力は $20-1.89 = 18.11$ MPa となる。

曲げ応力 $\sigma$ とせん断応力 $\tau$ から相当応力を計算する。曲げモーメントによって発生する曲げ応力 $\sigma$ は、

$\sigma = \frac{32M}{\pi d^3}$

ここで、$M$ は曲げモーメント。許容応力は $20$ MPa と仮定する。

$20 \text{ MPa} = \sqrt{\sigma^2 + 3\tau^2}$ で、

$\sigma = \sqrt{20^2 - 3\times(1.89)^2} = \sqrt{400-10.7163} = \sqrt{389.2837} \approx 19.73 \text{ MPa}$

$M = \frac{\pi d^3 \sigma}{32} = \frac{\pi \times (0.024)^3 \times 19.73 \times 10^6}{32} \approx 84.9$ Nm

3. 最終的な答え

伝達トルク：5.14 N・m

軸に生じるせん断応力：1.89 MPa

許容曲げモーメント：84.9 N・m