回転数210rpmで36,764kWの動力を伝達する軸について、以下の問いに答える問題です。 (1) 中実軸の直径を求める。 (2) 内外径比が2/3の中空軸を使用する場合の内径と外径を求める。 (3) 中実軸と中空軸の質量を比較する。ただし、許容せん断応力は49MPaとする。

1. 問題の内容

回転数210rpmで36,764kWの動力を伝達する軸について、以下の問いに答える問題です。

(1) 中実軸の直径を求める。

(2) 内外径比が2/3の中空軸を使用する場合の内径と外径を求める。

(3) 中実軸と中空軸の質量を比較する。ただし、許容せん断応力は49MPaとする。

2. 解き方の手順

(1) 中実軸の直径を求める。

まず、伝達トルク$T$を求める。

$P = 2 \pi N T$

ここで、$P$は動力、$N$は回転数、$T$はトルクである。

$P = 36,764 \times 10^3 W$

$N = \frac{210}{60} = 3.5 Hz$

したがって、

$T = \frac{P}{2 \pi N} = \frac{36,764 \times 10^3}{2 \pi \times 3.5} \approx 1.677 \times 10^6 Nm$

次に、軸の直径$d$を求める。

許容せん断応力$\tau$とトルク$T$の関係は、

$T = \frac{\pi}{16} \tau d^3$

ここで、$\tau = 49 MPa = 49 \times 10^6 Pa$であるから、

$d^3 = \frac{16T}{\pi \tau} = \frac{16 \times 1.677 \times 10^6}{\pi \times 49 \times 10^6} \approx 0.1736$

$d = \sqrt[3]{0.1736} \approx 0.55797 m = 557.97 mm$

(2) 中空軸の内径と外径を求める。

外径を$d_o$、内径を$d_i$とすると、$d_i = \frac{2}{3}d_o$

中空軸の場合、トルク$T$とせん断応力$\tau$の関係は、

$T = \frac{\pi}{16} \tau \frac{d_o^4 - d_i^4}{d_o}$

$T = \frac{\pi}{16} \tau d_o^3 (1 - (\frac{d_i}{d_o})^4)$

$T = \frac{\pi}{16} \tau d_o^3 (1 - (\frac{2}{3})^4)$

$T = \frac{\pi}{16} \tau d_o^3 (1 - \frac{16}{81}) = \frac{\pi}{16} \tau d_o^3 (\frac{65}{81})$

$d_o^3 = \frac{16T}{\pi \tau} \frac{81}{65} = \frac{16 \times 1.677 \times 10^6}{\pi \times 49 \times 10^6} \times \frac{81}{65} \approx 0.1736 \times \frac{81}{65} \approx 0.2162$

$d_o = \sqrt[3]{0.2162} \approx 0.60044 m = 600.44 mm$

$d_i = \frac{2}{3}d_o = \frac{2}{3} \times 600.44 \approx 400.29 mm$

(3) 中実軸と中空軸の質量を比較する。

質量は断面積に比例するので、

中実軸の断面積$A_s = \pi (\frac{d}{2})^2 = \pi (\frac{557.97}{2})^2 \approx 245260 mm^2$

中空軸の断面積$A_h = \pi (\frac{d_o}{2})^2 - \pi (\frac{d_i}{2})^2 = \pi ((\frac{600.44}{2})^2 - (\frac{400.29}{2})^2) \approx 257404 mm^2$

中空軸の断面積$A_h = \pi/4 (600.44^2 - 400.29^2) = \pi/4 (360528.19 - 160232.08) = \pi/4 * 200296.11 = 157351.32 mm^2$

質量比は断面積の比に等しいので、中空軸の質量は中実軸の質量の何パーセントになるか計算します。

$A_h / A_s = 157351.32 / 245260 \approx 0.6415$

中空軸の質量は、中実軸の質量の約64.15%である。

したがって、中空軸は中実軸に比べて$100 - 64.15 = 35.85\%$ 軽くなる。

3. 最終的な答え

(1) 中実軸の直径: 557.97mm

(2) 中空軸の外径: 600.44mm, 内径: 400.29mm

(3) 中空軸は中実軸より約35.85%軽くなる。