次の定積分を計算します。 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\sin^2 x + 3 \cos^2 x} dx$

1. 問題の内容

次の定積分を計算します。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\sin^2 x + 3 \cos^2 x} dx$

2. 解き方の手順

まず、積分を簡単にします。

$\sin^2 x + 3 \cos^2 x = \sin^2 x + \cos^2 x + 2 \cos^2 x = 1 + 2 \cos^2 x$

分子と分母を$\cos^2 x$で割ると、

$\frac{1}{\sin^2 x + 3 \cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x (\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + 3)} = \frac{1}{\cos^2 x} \cdot \frac{1}{\tan^2 x + 3} = \frac{\sec^2 x}{\tan^2 x + 3}$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sec^2 x}{\tan^2 x + 3} dx$

$u = \tan x$と置換すると、$du = \sec^2 x dx$です。

積分範囲も変更します。

$x = 0$のとき、$u = \tan 0 = 0$

$x = \frac{\pi}{4}$のとき、$u = \tan \frac{\pi}{4} = 1$

積分は次のようになります。

$\int_{0}^{1} \frac{1}{u^2 + 3} du$

この積分は逆正接関数を用いて計算できます。

$\int \frac{1}{u^2 + a^2} du = \frac{1}{a} \arctan(\frac{u}{a}) + C$

ここで、$a = \sqrt{3}$とすると、

$\int_{0}^{1} \frac{1}{u^2 + 3} du = \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{u}{\sqrt{3}}) \Big|_{0}^{1}$

$=\frac{1}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{1}{\sqrt{3}}) - \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan(0) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\pi}{6} - 0 = \frac{\pi}{6\sqrt{3}}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{6\sqrt{3}}$