次の極限を計算します。 $\lim_{x \to 3} \frac{x-3}{\sqrt{x-1} - \sqrt{2}}$

1. 問題の内容

次の極限を計算します。

$\lim_{x \to 3} \frac{x-3}{\sqrt{x-1} - \sqrt{2}}$

2. 解き方の手順

まず、$x \to 3$ のとき、分子は $x-3 \to 0$、分母は $\sqrt{x-1} - \sqrt{2} \to \sqrt{3-1} - \sqrt{2} = \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$ となるので、不定形 $\frac{0}{0}$ の形です。

そこで、分母を有理化します。

$\frac{x-3}{\sqrt{x-1} - \sqrt{2}} = \frac{x-3}{\sqrt{x-1} - \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{x-1} + \sqrt{2}}{\sqrt{x-1} + \sqrt{2}}$

$= \frac{(x-3)(\sqrt{x-1} + \sqrt{2})}{(\sqrt{x-1})^2 - (\sqrt{2})^2}$

$= \frac{(x-3)(\sqrt{x-1} + \sqrt{2})}{(x-1) - 2}$

$= \frac{(x-3)(\sqrt{x-1} + \sqrt{2})}{x-3}$

$x \neq 3$ のとき、$x-3 \neq 0$ なので、分母と分子の $x-3$ を約分できます。

$\frac{(x-3)(\sqrt{x-1} + \sqrt{2})}{x-3} = \sqrt{x-1} + \sqrt{2}$

よって、

$\lim_{x \to 3} \frac{x-3}{\sqrt{x-1} - \sqrt{2}} = \lim_{x \to 3} (\sqrt{x-1} + \sqrt{2})$

$= \sqrt{3-1} + \sqrt{2}$

$= \sqrt{2} + \sqrt{2}$

$= 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{2}$