与えられた媒介変数表示された点P(x, y)が描く曲線を求めます。具体的には以下の4つの場合について考えます。 (1) $x = \frac{1}{1+2t^2}, y = \frac{t}{1+2t^2}$ (2) $x = \frac{1-t^2}{1+t^2}, y = \frac{4t}{1+t^2}$ (3) $x = \sin\theta, y = \cos 2\theta + 2$ (4) $x = \sin\theta + \cos\theta + 1, y = 2\sin\theta - 2\cos\theta - 3$

1. 問題の内容

与えられた媒介変数表示された点P(x, y)が描く曲線を求めます。具体的には以下の4つの場合について考えます。

(1) $x = \frac{1}{1+2t^2}, y = \frac{t}{1+2t^2}$

(2) $x = \frac{1-t^2}{1+t^2}, y = \frac{4t}{1+t^2}$

(3) $x = \sin\theta, y = \cos 2\theta + 2$

(4) $x = \sin\theta + \cos\theta + 1, y = 2\sin\theta - 2\cos\theta - 3$

2. 解き方の手順

(1) $x = \frac{1}{1+2t^2}, y = \frac{t}{1+2t^2}$ より、 $t = \frac{y}{x}$ が得られます。これを$x = \frac{1}{1+2t^2}$ に代入すると、

$x = \frac{1}{1+2(\frac{y}{x})^2} = \frac{1}{1+2\frac{y^2}{x^2}} = \frac{x^2}{x^2+2y^2}$.

したがって、$x^2+2y^2 = x$, つまり、$x^2 - x + 2y^2 = 0$.

$x^2 - x + \frac{1}{4} + 2y^2 = \frac{1}{4}$ より、$(x-\frac{1}{2})^2 + 2y^2 = \frac{1}{4}$.

$\frac{(x-\frac{1}{2})^2}{\frac{1}{4}} + \frac{y^2}{\frac{1}{8}} = 1$.

これは楕円を表します。

(2) $x = \frac{1-t^2}{1+t^2}, y = \frac{4t}{1+t^2}$ より、

$x^2 = (\frac{1-t^2}{1+t^2})^2, y^2 = (\frac{4t}{1+t^2})^2$.

$x^2 + (\frac{y}{4})^2 = (\frac{1-t^2}{1+t^2})^2 + (\frac{t}{1+t^2})^2$.

しかし、$x^2 + (\frac{y}{2})^2 = (\frac{1-t^2}{1+t^2})^2 + \frac{4t^2}{(1+t^2)^2} = \frac{1-2t^2+t^4+4t^2}{(1+t^2)^2} = \frac{1+2t^2+t^4}{(1+t^2)^2} = \frac{(1+t^2)^2}{(1+t^2)^2} = 1$.

よって、$x^2 + (\frac{y}{4})^2 = (\frac{1-t^2}{1+t^2})^2 + \frac{y^2}{4} =1$

$16x^2 + y^2 =1$.

$y= \frac{4t}{1+t^2}$

$y^2=(4t)^2 = \frac{16t^2}{(1+t^2)^2} = 1 - (\frac{1-t^2}{1+t^2})^2$.

$x^2 + \frac{y^2}{16} =1$。

これは楕円を表します。

(3) $x = \sin\theta, y = \cos 2\theta + 2$

$y = 1 - 2\sin^2\theta + 2 = 3 - 2\sin^2\theta = 3 - 2x^2$.

よって、$y = -2x^2 + 3$.

$x = \sin\theta$ なので、$-1 \le x \le 1$.

これは放物線の一部を表します。

(4) $x = \sin\theta + \cos\theta + 1, y = 2\sin\theta - 2\cos\theta - 3$

$x-1 = \sin\theta + \cos\theta, y+3 = 2(\sin\theta - \cos\theta)$

$(x-1)^2 = (\sin\theta + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 1 + 2\sin\theta\cos\theta$

$(\frac{y+3}{2})^2 = (\sin\theta - \cos\theta)^2 = \sin^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 1 - 2\sin\theta\cos\theta$

$(x-1)^2 + (\frac{y+3}{2})^2 = 1 + 2\sin\theta\cos\theta + 1 - 2\sin\theta\cos\theta = 2$

$(x-1)^2 + \frac{(y+3)^2}{4} = 2$

$\frac{(x-1)^2}{2} + \frac{(y+3)^2}{8} = 1$.

これは楕円を表します。

3. 最終的な答え

(1) 楕円: $\frac{(x-\frac{1}{2})^2}{\frac{1}{4}} + \frac{y^2}{\frac{1}{8}} = 1$

(2) 楕円: $x^2 + \frac{y^2}{16} = 1$

(3) 放物線の一部: $y = -2x^2 + 3$ ($-1 \le x \le 1$)

(4) 楕円: $\frac{(x-1)^2}{2} + \frac{(y+3)^2}{8} = 1$