(1) $t \neq -1$ のとき、次の関係式を示す。 $\frac{1}{1+t} = \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k t^k + \frac{(-1)^n t^n}{1+t}$ (2) 無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}$ が収束することを示し、その値を求める。

1. 問題の内容

(1) $t \neq -1$ のとき、次の関係式を示す。

$\frac{1}{1+t} = \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k t^k + \frac{(-1)^n t^n}{1+t}$

(2) 無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}$ が収束することを示し、その値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 等比数列の和の公式を使う。

$\sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k t^k = \sum_{k=0}^{n-1} (-t)^k = \frac{1 - (-t)^n}{1 - (-t)} = \frac{1 - (-1)^n t^n}{1+t}$

したがって、

$\sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k t^k + \frac{(-1)^n t^n}{1+t} = \frac{1 - (-1)^n t^n}{1+t} + \frac{(-1)^n t^n}{1+t} = \frac{1}{1+t}$

これで、関係式が示された。

(2) 交代級数の収束判定法を用いる。

$a_n = \frac{1}{n}$ とすると、 $a_n$ は単調減少で、 $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ である。

したがって、交代級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}$ は収束する。

収束値を求める。

(1) で $t=1$ とすると、

$\frac{1}{1+1} = \frac{1}{2} = \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k + \frac{(-1)^n}{1+1} = \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k + \frac{(-1)^n}{2}$

ここで、$f(x) = \ln(1+x)$ を考える。

$f'(x) = \frac{1}{1+x} = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k x^k$ (ただし $|x| < 1$)

両辺を積分して、

$f(x) = \ln(1+x) = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{k+1}}{k+1} = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}$

したがって、

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} = \ln(1+1) = \ln 2$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{1+t} = \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k t^k + \frac{(-1)^n t^n}{1+t}$

(2) 収束し、その値は $\ln 2$ である。