問題は、関数 $f(\theta) = \sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta$ について、以下の2つの問いに答えるものです。 (1) $f(\theta)$ を $a\sin(2\theta + \alpha) + b$ の形に変形し、$a, b, \alpha$ を求めよ。 (2) $0 \le \theta \le \frac{1}{2}\pi$ における $f(\theta)$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

問題は、関数 $f(\theta) = \sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta$ について、以下の2つの問いに答えるものです。

(1) $f(\theta)$ を $a\sin(2\theta + \alpha) + b$ の形に変形し、$a, b, \alpha$ を求めよ。

(2) $0 \le \theta \le \frac{1}{2}\pi$ における $f(\theta)$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $f(\theta)$ を変形します。まず、$\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{2}\sin(2\theta)$、$\cos^2\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$ を用いると、

$f(\theta) = \frac{1}{2}\sin(2\theta) + \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} = \frac{1}{2}\sin(2\theta) + \frac{1}{2}\cos(2\theta) + \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}\sin(2\theta) + \frac{1}{2}\cos(2\theta)$ の部分を合成します。

$\frac{1}{2}\sin(2\theta) + \frac{1}{2}\cos(2\theta) = \frac{\sqrt{2}}{2}\sin(2\theta + \frac{\pi}{4})$

よって、

$f(\theta) = \frac{\sqrt{2}}{2}\sin(2\theta + \frac{\pi}{4}) + \frac{1}{2}$

(2) $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ のとき、$0 \le 2\theta \le \pi$ なので、$\frac{\pi}{4} \le 2\theta + \frac{\pi}{4} \le \frac{5\pi}{4}$ となります。

この範囲で $\sin(2\theta + \frac{\pi}{4})$ の最大値は $1$ ($\theta = \frac{\pi}{8}$のとき)、最小値は $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ ($\theta = \frac{\pi}{2}$のとき)です。

最大値は、

$f(\theta) = \frac{\sqrt{2}}{2}(1) + \frac{1}{2} = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$

最小値は、

$f(\theta) = \frac{\sqrt{2}}{2}(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0$

3. 最終的な答え

(1)

$f(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2}}\sin(2\theta + \frac{1}{4}\pi) + \frac{1}{2}$

(2)

最大値: $\frac{1 + \sqrt{2}}{2}$

最小値: 0