等差数列の和を求める問題です。具体的には、 (1) 数列 -20, -18, -16, ..., 28 の和 (2) 初項 2, 公差 -3 の等差数列の初項から第 n 項までの和 (3) 第 10 項が 35, 第 24 項が 91 の等差数列の第 15 項から第 40 項までの和 をそれぞれ計算します。

1. 問題の内容

等差数列の和を求める問題です。具体的には、

(1) 数列 -20, -18, -16, ..., 28 の和

(2) 初項 2, 公差 -3 の等差数列の初項から第 n 項までの和

(3) 第 10 項が 35, 第 24 項が 91 の等差数列の第 15 項から第 40 項までの和

をそれぞれ計算します。

2. 解き方の手順

(1) 等差数列 -20, -18, -16, ..., 28 の和

まず、初項 $a = -20$、公差 $d = -18 - (-20) = 2$ です。末項 $l = 28$ とします。

項数 $n$ を求めます。一般項は $a_n = a + (n-1)d$ で与えられます。

$28 = -20 + (n-1)2$

$48 = (n-1)2$

$24 = n-1$

$n = 25$

よって、項数は 25 です。

等差数列の和の公式 $S_n = \frac{n}{2}(a+l)$ を用います。

$S_{25} = \frac{25}{2}(-20 + 28) = \frac{25}{2}(8) = 25 \times 4 = 100$

(2) 初項 2, 公差 -3 の等差数列の初項から第 n 項までの和

初項 $a = 2$、公差 $d = -3$ です。

等差数列の和の公式 $S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)$ を用います。

$S_n = \frac{n}{2}(2(2) + (n-1)(-3)) = \frac{n}{2}(4 - 3n + 3) = \frac{n}{2}(7 - 3n)$

(3) 第 10 項が 35, 第 24 項が 91 の等差数列の第 15 項から第 40 項までの和

第 10 項を $a_{10} = 35$、第 24 項を $a_{24} = 91$ とします。

$a_{10} = a + 9d = 35$

$a_{24} = a + 23d = 91$

2つの式を引き算します。

$14d = 56$

$d = 4$

$a + 9(4) = 35$

$a + 36 = 35$

$a = -1$

よって、初項 $a = -1$、公差 $d = 4$ です。

第 15 項から第 40 項までの和を求めます。

第 15 項 $a_{15} = a + 14d = -1 + 14(4) = -1 + 56 = 55$

第 40 項 $a_{40} = a + 39d = -1 + 39(4) = -1 + 156 = 155$

項数は $40 - 15 + 1 = 26$ です。

$S = \frac{n}{2}(a_{15} + a_{40}) = \frac{26}{2}(55 + 155) = 13(210) = 2730$

3. 最終的な答え

(1) 100

(2) $\frac{n}{2}(7 - 3n)$

(3) 2730