1から200までの整数について、以下の2つの問題に答えます。 (1) 4で割ると1余る数の和を求めます。 (2) 4の倍数または6の倍数の和を求めます。

1. 問題の内容

1から200までの整数について、以下の2つの問題に答えます。

(1) 4で割ると1余る数の和を求めます。

(2) 4の倍数または6の倍数の和を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 4で割ると1余る数の和

4で割ると1余る数は、$4n+1$（$n$は整数）の形で表されます。

1から200までの範囲で、$4n+1$を満たす$n$の範囲を求めます。

$1 \le 4n+1 \le 200$

$0 \le 4n \le 199$

$0 \le n \le \frac{199}{4} = 49.75$

したがって、$n$は0から49までの整数です。つまり、求める数は$n=0,1,2,...,49$に対応する$4n+1$です。

これらの数の和は、等差数列の和の公式を用いて計算できます。

初項は$4(0)+1 = 1$, 末項は$4(49)+1 = 197$, 項数は50です。

等差数列の和の公式は、$\frac{n(a_1+a_n)}{2}$（$n$は項数、$a_1$は初項、$a_n$は末項）です。

したがって、和は$\frac{50(1+197)}{2} = \frac{50(198)}{2} = 50(99) = 4950$です。

(2) 4の倍数または6の倍数の和

4の倍数の和と6の倍数の和をそれぞれ求め、重複している12の倍数の和を引きます。

4の倍数：$4n$ （$n$は整数）。$1 \le 4n \le 200$ より $1 \le n \le 50$。

4の倍数の和は$\sum_{n=1}^{50} 4n = 4\sum_{n=1}^{50} n = 4 \times \frac{50(50+1)}{2} = 4 \times \frac{50(51)}{2} = 4 \times 25(51) = 100(51) = 5100$

6の倍数：$6n$ （$n$は整数）。$1 \le 6n \le 200$ より $1 \le n \le \frac{200}{6} = 33.33...$。 よって、$n$は1から33までの整数。

6の倍数の和は$\sum_{n=1}^{33} 6n = 6\sum_{n=1}^{33} n = 6 \times \frac{33(33+1)}{2} = 6 \times \frac{33(34)}{2} = 6 \times 33(17) = 3(33)(34) = 1122(3) = 3366$

12の倍数：$12n$ （$n$は整数）。$1 \le 12n \le 200$ より $1 \le n \le \frac{200}{12} = 16.66...$。 よって、$n$は1から16までの整数。

12の倍数の和は$\sum_{n=1}^{16} 12n = 12\sum_{n=1}^{16} n = 12 \times \frac{16(16+1)}{2} = 12 \times \frac{16(17)}{2} = 12 \times 8(17) = 96(17) = 1632$

4の倍数または6の倍数の和は、$5100 + 3366 - 1632 = 8466 - 1632 = 6834$

3. 最終的な答え

(1) 4で割って1余る数の和: 4950

(2) 4の倍数または6の倍数の和: 6834