初項が51、公差が-4の等差数列 $\{a_n\}$ が与えられている。 (1) 第何項から負の数になるかを求める。 (2) 初項から第何項までの和が最大になるかと、その最大値を求める。

1. 問題の内容

初項が51、公差が-4の等差数列 $\{a_n\}$ が与えられている。

(1) 第何項から負の数になるかを求める。

(2) 初項から第何項までの和が最大になるかと、その最大値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 等差数列の一般項を求める。$a_n = a_1 + (n-1)d$ より、

$a_n = 51 + (n-1)(-4) = 51 - 4n + 4 = 55 - 4n$

$a_n < 0$ となる $n$ を求める。

$55 - 4n < 0$

$4n > 55$

$n > \frac{55}{4} = 13.75$

よって、$n$ は自然数なので、第14項から負の数になる。

(2) 初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。等差数列の和の公式 $S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$ より、

$S_n = \frac{n}{2}(2(51) + (n-1)(-4)) = \frac{n}{2}(102 - 4n + 4) = \frac{n}{2}(106 - 4n) = n(53 - 2n) = -2n^2 + 53n$

$S_n$ が最大になる $n$ を求めるために、$S_n$ を平方完成する。

$S_n = -2(n^2 - \frac{53}{2}n) = -2(n^2 - \frac{53}{2}n + (\frac{53}{4})^2 - (\frac{53}{4})^2) = -2((n - \frac{53}{4})^2 - \frac{2809}{16}) = -2(n - \frac{53}{4})^2 + \frac{2809}{8}$

$n = \frac{53}{4} = 13.25$ のとき $S_n$ は最大になる。 $n$ は自然数なので、 $n=13$ または $n=14$ のときに $S_n$ は最大になる可能性がある。

$S_{13} = 13(53 - 2(13)) = 13(53 - 26) = 13(27) = 351$

$S_{14} = 14(53 - 2(14)) = 14(53 - 28) = 14(25) = 350$

したがって、初項から第13項までの和が最大となり、その最大値は351である。

3. 最終的な答え

(1) 第14項

(2) 第13項まで, 最大値は351