与えられた条件から等比数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。 (1) 数列 $-3, 6, -12, ...$ の一般項を求めます。 (2) 公比が $\frac{1}{2}$ で第5項が4である等比数列の一般項を求めます。 (3) 第2項が-6で、第5項が162である等比数列の一般項を求めます。ただし、公比は実数とします。

1. 問題の内容

与えられた条件から等比数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

(1) 数列 $-3, 6, -12, ...$ の一般項を求めます。

(2) 公比が $\frac{1}{2}$ で第5項が4である等比数列の一般項を求めます。

(3) 第2項が-6で、第5項が162である等比数列の一般項を求めます。ただし、公比は実数とします。

2. 解き方の手順

(1)

等比数列の一般項は $a_n = a_1 r^{n-1}$ で表されます。

初項 $a_1 = -3$ で、公比 $r = \frac{6}{-3} = -2$ です。

よって、一般項は $a_n = -3 \cdot (-2)^{n-1}$ となります。

(2)

等比数列の一般項は $a_n = a_1 r^{n-1}$ で表されます。

公比 $r = \frac{1}{2}$ で、第5項 $a_5 = 4$ です。

$a_5 = a_1 r^{5-1} = a_1 (\frac{1}{2})^4 = a_1 \frac{1}{16} = 4$

$a_1 = 4 \cdot 16 = 64$

よって、一般項は $a_n = 64 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1} = 2^6 \cdot 2^{-(n-1)} = 2^{6-(n-1)} = 2^{7-n}$ となります。

(3)

等比数列の一般項は $a_n = a_1 r^{n-1}$ で表されます。

第2項 $a_2 = -6$ で、第5項 $a_5 = 162$ です。

$a_2 = a_1 r = -6$

$a_5 = a_1 r^4 = 162$

$\frac{a_5}{a_2} = \frac{a_1 r^4}{a_1 r} = r^3 = \frac{162}{-6} = -27$

$r^3 = -27$ より、 $r = -3$ (公比は実数なので)

$a_1 r = -6$ に $r = -3$ を代入して $a_1 (-3) = -6$

$a_1 = \frac{-6}{-3} = 2$

よって、一般項は $a_n = 2 \cdot (-3)^{n-1}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = -3 \cdot (-2)^{n-1}$

(2) $a_n = 2^{7-n}$

(3) $a_n = 2 \cdot (-3)^{n-1}$