(1) $n$ を自然数とする。 不等式 $\int_0^1 \frac{x^n}{1+x} dx \le \int_0^1 x^n dx$ を示し、$\lim_{n \to \infty} \int_0^1 \frac{x^n}{1+x} dx$ を求めよ。 (2) $F_n(x) = 1 + (-x) + (-x)^2 + \cdots + (-x)^{n-1}$ とし、$S_n = \int_0^1 F_n(x) dx$ とする。 $S_n = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \cdots + \frac{(-1)^{n-1}}{n}$ を示し、無限級数 $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots$ の和を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $n$ を自然数とする。

不等式 $\int_0^1 \frac{x^n}{1+x} dx \le \int_0^1 x^n dx$ を示し、$\lim_{n \to \infty} \int_0^1 \frac{x^n}{1+x} dx$ を求めよ。

(2) $F_n(x) = 1 + (-x) + (-x)^2 + \cdots + (-x)^{n-1}$ とし、$S_n = \int_0^1 F_n(x) dx$ とする。

$S_n = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \cdots + \frac{(-1)^{n-1}}{n}$ を示し、無限級数 $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots$ の和を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、不等式 $\int_0^1 \frac{x^n}{1+x} dx \le \int_0^1 x^n dx$ を示す。

区間 $[0, 1]$ において、$1+x \ge 1$ であるから $\frac{1}{1+x} \le 1$ 。したがって、$\frac{x^n}{1+x} \le x^n$ が成り立つ。

積分区間 $[0, 1]$ において、$\frac{x^n}{1+x} \le x^n$ が成り立つので、

$\int_0^1 \frac{x^n}{1+x} dx \le \int_0^1 x^n dx$ が成り立つ。

次に、$\lim_{n \to \infty} \int_0^1 \frac{x^n}{1+x} dx$ を求める。

$\int_0^1 x^n dx = \left[ \frac{x^{n+1}}{n+1} \right]_0^1 = \frac{1}{n+1}$

したがって、$\int_0^1 \frac{x^n}{1+x} dx \le \frac{1}{n+1}$ である。

$0 \le \int_0^1 \frac{x^n}{1+x} dx \le \frac{1}{n+1}$ であり、$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0$ であるから、

$\lim_{n \to \infty} \int_0^1 \frac{x^n}{1+x} dx = 0$ (はさみうちの原理)。

(2)

$F_n(x) = 1 + (-x) + (-x)^2 + \cdots + (-x)^{n-1} = \sum_{k=0}^{n-1} (-x)^k = \frac{1 - (-x)^n}{1 - (-x)} = \frac{1 - (-x)^n}{1+x}$

$S_n = \int_0^1 F_n(x) dx = \int_0^1 \frac{1 - (-x)^n}{1+x} dx = \int_0^1 \frac{1}{1+x} dx - \int_0^1 \frac{(-x)^n}{1+x} dx$

$S_n = \int_0^1 \sum_{k=0}^{n-1} (-x)^k dx = \sum_{k=0}^{n-1} \int_0^1 (-x)^k dx = \sum_{k=0}^{n-1} \left[ \frac{(-1)^k x^{k+1}}{k+1} \right]_0^1 = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{(-1)^k}{k+1} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \cdots + \frac{(-1)^{n-1}}{n}$

したがって、$S_n = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \cdots + \frac{(-1)^{n-1}}{n}$

無限級数 $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots$ の和を求める。

$S_n = \int_0^1 F_n(x) dx = \int_0^1 \frac{1 - (-x)^n}{1+x} dx = \int_0^1 \frac{1}{1+x} dx - \int_0^1 \frac{(-x)^n}{1+x} dx$

$\int_0^1 \frac{1}{1+x} dx = \left[ \ln(1+x) \right]_0^1 = \ln(2) - \ln(1) = \ln 2$

$\lim_{n \to \infty} \int_0^1 \frac{(-x)^n}{1+x} dx = 0$ (これは少し難しい)

$|\int_0^1 \frac{(-x)^n}{1+x} dx | \le \int_0^1 \frac{|x|^n}{1+x} dx \le \int_0^1 x^n dx = \frac{1}{n+1} \to 0$ as $n \to \infty$.

したがって、$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \int_0^1 \frac{1}{1+x} dx - \lim_{n \to \infty} \int_0^1 \frac{(-x)^n}{1+x} dx = \ln 2 - 0 = \ln 2$

3. 最終的な答え

(1)

$\int_0^1 \frac{x^n}{1+x} dx \le \int_0^1 x^n dx$

$\lim_{n \to \infty} \int_0^1 \frac{x^n}{1+x} dx = 0$

(2)

$S_n = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \cdots + \frac{(-1)^{n-1}}{n}$

$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots = \ln 2$