6個の文字 B, A, N, A, N, A を1列に並べて文字の列を作る。 (1) 文字の列は全部で何通りあるか。 (2) 文字の列のどこかに、N, A, N の3つの文字がこの順に連続して隣り合っているものは全部で何通りあるか。 (3) 文字の列のどこにおいても文字Aが隣り合っていないものは全部で何通りあるか。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

6個の文字 B, A, N, A, N, A を1列に並べて文字の列を作る。

(1) 文字の列は全部で何通りあるか。

(2) 文字の列のどこかに、N, A, N の3つの文字がこの順に連続して隣り合っているものは全部で何通りあるか。

(3) 文字の列のどこにおいても文字Aが隣り合っていないものは全部で何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 全体の並べ方の数を求める。

B, A, N, A, N, A の6文字のうち、Aが3つ、Nが2つあるので、並べ方の総数は、同じものを含む順列の公式より、

$$\frac{6!}{3!2!1!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)(1)} = 60$$

したがって、文字の列は全部で60通りある。

(2) N, A, Nが連続して並ぶ場合を考える。

N, A, N を1つのまとまりとして考えると、並べるものは B, A, A, (N, A, N) の4つとなる。

並べ方の総数は、同じものを含む順列の公式より、

$$\frac{4!}{2!1!1!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(1)(1)} = 12$$

したがって、N, A, N が連続して並ぶものは12通りある。

(3) Aが隣り合わない場合を考える。

まず、A以外の文字 B, N, N を並べる。これらは $\frac{3!}{2!} = 3$ 通り。

B, N, N の並べ方は、B N N, N B N, N N B の3通り。

これらの文字の間にAを入れる場所は4箇所ある。

Aが隣り合わないようにAを3つ入れるので、4箇所から3箇所を選ぶ組み合わせの数は ${}_4C_3 = 4$ 通り。

したがって、Aが隣り合わない並べ方は $3 \times 4 = 12$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 60通り

(2) 12通り

(3) 12通り