媒介変数 $t$ で表された関数 $x = a \cos t$, $y = a \sin t$ について、$\frac{dy}{dx}$ を求め、与えられた選択肢の中から該当するものを選択する問題です。ただし、$0 < t < \pi$。最終的な答えは $-U$ の形で与えられ、$U$ を選択肢から選びます。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ で表された関数 $x = a \cos t$, $y = a \sin t$ について、$\frac{dy}{dx}$ を求め、与えられた選択肢の中から該当するものを選択する問題です。ただし、$0 < t < \pi$。最終的な答えは $-U$ の形で与えられ、$U$ を選択肢から選びます。

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ をそれぞれ $t$ で微分します。

$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} (a \cos t) = -a \sin t$

$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} (a \sin t) = a \cos t$

次に、$\frac{dy}{dx}$ を求めます。これは $\frac{dy}{dt} / \frac{dx}{dt}$ で計算できます。

$\frac{dy}{dx} = \frac{a \cos t}{-a \sin t} = - \frac{\cos t}{\sin t} = - \cot t$

したがって、$\frac{dy}{dx}$ は $-\cot t$ となります。

問題文より、答えは $-U$ の形であり、今求めた$\frac{dy}{dx}$は $-\cot t$ であるので、$U$ は $\cot t$ に相当します。

3. 最終的な答え

5. cot