問題は、次の極限を求めることです。 (1) $\lim_{x \to \infty} (1+\frac{3}{x})^x$ (2) $\lim_{x \to 0} (1+3x)^{\frac{1}{x}}$ また、(2)の極限値は $e^W$ であるとき、$W$ を求める。

1. 問題の内容

問題は、次の極限を求めることです。

(1) $\lim_{x \to \infty} (1+\frac{3}{x})^x$

(2) $\lim_{x \to 0} (1+3x)^{\frac{1}{x}}$

また、(2)の極限値は $e^W$ であるとき、$W$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to \infty} (1+\frac{3}{x})^x$

$t = \frac{x}{3}$ と置くと、$x = 3t$ であり、$x \to \infty$ のとき $t \to \infty$ となる。よって、

$\lim_{x \to \infty} (1+\frac{3}{x})^x = \lim_{t \to \infty} (1+\frac{1}{t})^{3t} = \lim_{t \to \infty} ((1+\frac{1}{t})^t)^3 = (\lim_{t \to \infty} (1+\frac{1}{t})^t)^3 = e^3$

(2) $\lim_{x \to 0} (1+3x)^{\frac{1}{x}}$

$t = 3x$ と置くと、$x = \frac{t}{3}$ であり、$x \to 0$ のとき $t \to 0$ となる。よって、

$\lim_{x \to 0} (1+3x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{t \to 0} (1+t)^{\frac{3}{t}} = \lim_{t \to 0} ((1+t)^{\frac{1}{t}})^3 = (\lim_{t \to 0} (1+t)^{\frac{1}{t}})^3 = e^3$

したがって、$\lim_{x \to 0} (1+3x)^{\frac{1}{x}} = e^3$ である。

(2)の極限値は $e^W$ であるので、$e^3 = e^W$ となり、$W = 3$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $e^3$

(2) $W = 3$