与えられた4つの式を因数分解する問題です。 (1) $(a+4b)^2 - b^2$ (2) $9x^2 - (y-z)^2$ (3) $(x-y)^2 + 4(x-y) - 45$ (4) $(2a+b)(2a+b-9) + 20$

1. 問題の内容

与えられた4つの式を因数分解する問題です。

(1) $(a+4b)^2 - b^2$

(2) $9x^2 - (y-z)^2$

(3) $(x-y)^2 + 4(x-y) - 45$

(4) $(2a+b)(2a+b-9) + 20$

2. 解き方の手順

(1)

二乗の差の公式 $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ を利用します。

$A = a+4b$, $B = b$ とすると、

\begin{align*}

(a+4b)^2 - b^2 &= (a+4b+b)(a+4b-b) \\

&= (a+5b)(a+3b)

\end{align*}

(2)

二乗の差の公式 $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ を利用します。

$A = 3x$, $B = y-z$ とすると、

\begin{align*}

9x^2 - (y-z)^2 &= (3x)^2 - (y-z)^2 \\

&= (3x + (y-z))(3x - (y-z)) \\

&= (3x+y-z)(3x-y+z)

\end{align*}

(3)

$x-y = A$ とおくと、

\begin{align*}

(x-y)^2 + 4(x-y) - 45 &= A^2 + 4A - 45 \\

&= (A+9)(A-5) \\

&= (x-y+9)(x-y-5)

\end{align*}

(4)

$2a+b = A$ とおくと、

\begin{align*}

(2a+b)(2a+b-9) + 20 &= A(A-9) + 20 \\

&= A^2 - 9A + 20 \\

&= (A-4)(A-5) \\

&= (2a+b-4)(2a+b-5)

\end{align*}

3. 最終的な答え

(1) $(a+5b)(a+3b)$

(2) $(3x+y-z)(3x-y+z)$

(3) $(x-y+9)(x-y-5)$

(4) $(2a+b-4)(2a+b-5)$