3次方程式 $x^3 - 4x^2 - 14x - 4 = 0$ を解く問題です。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 4x^2 - 14x - 4 = 0$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、この3次方程式の有理数解を探索します。有理数定理によれば、有理数解の候補は定数項（-4）の約数である可能性が高いです。そこで、$x = -2$ を代入してみます。

$(-2)^3 - 4(-2)^2 - 14(-2) - 4 = -8 - 16 + 28 - 4 = 0$

したがって、$x = -2$ は方程式の解の一つです。これにより、$x+2$ が因数であることがわかります。与えられた3次式を $x+2$ で割って、残りの二次式を求めます。

筆算または組み立て除法を使って $x^3 - 4x^2 - 14x - 4$ を $x+2$ で割ると、

$x^3 - 4x^2 - 14x - 4 = (x+2)(x^2 - 6x - 2)$

となります。

次に、二次方程式 $x^2 - 6x - 2 = 0$ を解きます。解の公式を使うと、

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ここで、$a=1$, $b=-6$, $c=-2$ なので、

$x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{44}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{11}}{2} = 3 \pm \sqrt{11}$

したがって、$x = 3 + \sqrt{11}$ および $x = 3 - \sqrt{11}$ が二次方程式の解です。

3. 最終的な答え

$x = -2, 3 + \sqrt{11}, 3 - \sqrt{11}$