与えられた3次方程式 $x^3 + 4x^2 + x - 6 = 0$ の解を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた3次方程式 $x^3 + 4x^2 + x - 6 = 0$ の解を求める問題です。

2. 解き方の手順

まずは、整数解を探すことを試みます。因数定理より、$x = a$ が方程式の解であるとき、$x^3 + 4x^2 + x - 6$ は $x - a$ で割り切れるはずです。定数項 $-6$ の約数 $(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6)$ を代入して、$x^3 + 4x^2 + x - 6 = 0$ となるものを探します。

* $x = 1$ を代入すると、$1^3 + 4(1)^2 + 1 - 6 = 1 + 4 + 1 - 6 = 0$ となり、$x = 1$ が解であることがわかります。

したがって、$x - 1$ は $x^3 + 4x^2 + x - 6$ の因数です。筆算または組立除法を用いて、$x^3 + 4x^2 + x - 6$ を $x - 1$ で割ると、

$x^3 + 4x^2 + x - 6 = (x - 1)(x^2 + 5x + 6)$

となります。次に、2次方程式 $x^2 + 5x + 6 = 0$ を解きます。これは因数分解でき、

$x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) = 0$

したがって、$x = -2$ または $x = -3$ が解です。

3. 最終的な答え

$x = 1, -2, -3$