与えられた3次方程式 $x^3 - x^2 + x - 6 = 0$ を解き、$x$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた3次方程式 $x^3 - x^2 + x - 6 = 0$ を解き、$x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まずは、与えられた3次方程式を因数分解することを試みます。整数解を探索するため、定数項 -6 の約数 (±1, ±2, ±3, ±6) を方程式に代入して、方程式を満たす解を探します。

$x = 1$ のとき、$1^3 - 1^2 + 1 - 6 = -5 \neq 0$

$x = -1$ のとき、$(-1)^3 - (-1)^2 + (-1) - 6 = -1 - 1 - 1 - 6 = -9 \neq 0$

$x = 2$ のとき、$2^3 - 2^2 + 2 - 6 = 8 - 4 + 2 - 6 = 0$

$x = 2$ が解の一つであることがわかりました。したがって、$x - 2$ は $x^3 - x^2 + x - 6$ の因数です。

次に、$x^3 - x^2 + x - 6$ を $x - 2$ で割って、残りの因数を求めます。

$x^3 - x^2 + x - 6 = (x - 2)(x^2 + x + 3)$

したがって、$x^3 - x^2 + x - 6 = 0$ は、 $(x - 2)(x^2 + x + 3) = 0$ となります。

$x - 2 = 0$ より、$x = 2$ が一つの解です。

$x^2 + x + 3 = 0$ を解くために、二次方程式の解の公式を使います。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ここで、$a = 1$, $b = 1$, $c = 3$ です。

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(3)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 12}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{-11}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{11}}{2}$

したがって、$x = \frac{-1 + i\sqrt{11}}{2}$ と $x = \frac{-1 - i\sqrt{11}}{2}$ が残りの解です。

3. 最終的な答え

$x = 2, \frac{-1 + i\sqrt{11}}{2}, \frac{-1 - i\sqrt{11}}{2}$