関数 $y = 2(x+1)(x-4)$ の $-1 \le x \le 4$ における最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = 2(x+1)(x-4)$ の $-1 \le x \le 4$ における最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を展開して整理します。

$y = 2(x+1)(x-4) = 2(x^2 - 4x + x - 4) = 2(x^2 - 3x - 4) = 2x^2 - 6x - 8$

次に、平方完成を行います。

$y = 2(x^2 - 3x) - 8 = 2\left(x^2 - 3x + \left(\frac{3}{2}\right)^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2\right) - 8 = 2\left(\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{4}\right) - 8$

$y = 2\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{2} - 8 = 2\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{2} - \frac{16}{2} = 2\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{25}{2}$

したがって、関数の頂点は $\left(\frac{3}{2}, -\frac{25}{2}\right)$ です。

定義域 $-1 \le x \le 4$ の範囲において、頂点の $x$ 座標 $\frac{3}{2}$ はこの範囲に含まれています。

$x = \frac{3}{2}$ のとき、$y = -\frac{25}{2} = -12.5$ となり、これが最小値の候補です。

次に、定義域の端点における関数の値を計算します。

$x = -1$ のとき、$y = 2(-1+1)(-1-4) = 2(0)(-5) = 0$

$x = 4$ のとき、$y = 2(4+1)(4-4) = 2(5)(0) = 0$

したがって、$x = -1$ および $x = 4$ のとき、$y = 0$ となります。これが最大値の候補です。

最小値の候補は $x=\frac{3}{2}$ の時の $y=-\frac{25}{2}$ であり、最大値の候補は端点での$y=0$です。

これらを比較すると、最大値は $0$、最小値は $-\frac{25}{2}$ であることがわかります。

3. 最終的な答え

最大値: 0 ($x = -1, 4$ のとき)

最小値: $-\frac{25}{2}$ ($x = \frac{3}{2}$ のとき)