$\frac{1}{3\sqrt{2}-4}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$b^2+ab$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\frac{1}{3\sqrt{2}-4}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$b^2+ab$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{3\sqrt{2}-4}$ を有理化します。分母と分子に $3\sqrt{2}+4$ をかけます。

$$\frac{1}{3\sqrt{2}-4} = \frac{3\sqrt{2}+4}{(3\sqrt{2}-4)(3\sqrt{2}+4)} = \frac{3\sqrt{2}+4}{(3\sqrt{2})^2 - 4^2} = \frac{3\sqrt{2}+4}{18-16} = \frac{3\sqrt{2}+4}{2} = \frac{3}{2}\sqrt{2} + 2$$

ここで、$1.414 < \sqrt{2} < 1.415$ なので、

$$\frac{3}{2} \times 1.414 < \frac{3}{2}\sqrt{2} < \frac{3}{2} \times 1.415$$

$$2.121 < \frac{3}{2}\sqrt{2} < 2.1225$$

したがって、

$$2.121 + 2 < \frac{3}{2}\sqrt{2}+2 < 2.1225 + 2$$

$$4.121 < \frac{3}{2}\sqrt{2}+2 < 4.1225$$

よって、$\frac{1}{3\sqrt{2}-4} = \frac{3}{2}\sqrt{2}+2$ の整数部分は $a=4$、小数部分は $b = (\frac{3}{2}\sqrt{2}+2) - 4 = \frac{3}{2}\sqrt{2}-2$ となります。

$b^2+ab = b(b+a)$ に $a=4$、$b = \frac{3}{2}\sqrt{2}-2$ を代入します。

$$b^2 + ab = (\frac{3}{2}\sqrt{2}-2)((\frac{3}{2}\sqrt{2}-2)+4) = (\frac{3}{2}\sqrt{2}-2)(\frac{3}{2}\sqrt{2}+2) = (\frac{3}{2}\sqrt{2})^2 - 2^2 = \frac{9}{4}\times 2 - 4 = \frac{9}{2} - 4 = \frac{9}{2} - \frac{8}{2} = \frac{1}{2}$$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$