$x = \sqrt{16 + 4\sqrt{15}}$、 $y = \sqrt{16 - 4\sqrt{15}}$ のとき、$xy$ と $\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$x = \sqrt{16 + 4\sqrt{15}}$、 $y = \sqrt{16 - 4\sqrt{15}}$ のとき、$xy$ と $\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$xy$ を計算します。

$$xy = \sqrt{16 + 4\sqrt{15}} \cdot \sqrt{16 - 4\sqrt{15}} = \sqrt{(16 + 4\sqrt{15})(16 - 4\sqrt{15})} = \sqrt{16^2 - (4\sqrt{15})^2} = \sqrt{256 - 16 \cdot 15} = \sqrt{256 - 240} = \sqrt{16} = 4$$

次に、$\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$ を計算します。これは $\frac{x^2 + y^2}{xy}$ と書き換えることができます。

$x^2 = 16 + 4\sqrt{15}$、 $y^2 = 16 - 4\sqrt{15}$ なので、$x^2 + y^2 = 16 + 4\sqrt{15} + 16 - 4\sqrt{15} = 32$ です。

したがって、

$$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{32}{4} = 8$$

3. 最終的な答え

$xy = 4$

$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 8$