二つの連立方程式があり、一方の解の $x$ と $y$ を入れ替えると、もう一方の解になる。それぞれの連立方程式は以下の通りである。 連立方程式1: $6x - 5y = 3$ $4x - y = a$ 連立方程式2: $4x - 3y = 12$ $bx + 2y = 25$ $a$ と $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

二つの連立方程式があり、一方の解の $x$ と $y$ を入れ替えると、もう一方の解になる。それぞれの連立方程式は以下の通りである。

連立方程式1:

$6x - 5y = 3$

$4x - y = a$

連立方程式2:

$4x - 3y = 12$

$bx + 2y = 25$

$a$ と $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、連立方程式2を解く。

$4x - 3y = 12$ (1)

$bx + 2y = 25$ (2)

(1)より、$4x = 3y + 12$

$x = \frac{3}{4}y + 3$

これを(2)に代入する。

$b(\frac{3}{4}y + 3) + 2y = 25$

$\frac{3}{4}by + 3b + 2y = 25$

$(\frac{3}{4}b + 2)y = 25 - 3b$

連立方程式2の解を $x_2, y_2$ とすると、

$x_2 = \frac{3}{4}y_2 + 3$

$(\frac{3}{4}b + 2)y_2 = 25 - 3b$

次に、連立方程式1の解を $x_1, y_1$ とする。問題文より、$x_2 = y_1$ かつ $y_2 = x_1$ である。したがって、$x_1 = y_2, y_1 = x_2$ を連立方程式1に代入する。

$6x_1 - 5y_1 = 3$ より、$6y_2 - 5x_2 = 3$ (3)

$4x_1 - y_1 = a$ より、$4y_2 - x_2 = a$ (4)

$x_2 = \frac{3}{4}y_2 + 3$ を (3)に代入する。

$6y_2 - 5(\frac{3}{4}y_2 + 3) = 3$

$6y_2 - \frac{15}{4}y_2 - 15 = 3$

$\frac{24}{4}y_2 - \frac{15}{4}y_2 = 18$

$\frac{9}{4}y_2 = 18$

$y_2 = 18 * \frac{4}{9} = 8$

$x_2 = \frac{3}{4}y_2 + 3 = \frac{3}{4}(8) + 3 = 6 + 3 = 9$

したがって、連立方程式2の解は、$x_2 = 9, y_2 = 8$ である。

これを連立方程式2に代入する。

$4x_2 - 3y_2 = 12$

$4(9) - 3(8) = 36 - 24 = 12$ (成立)

$bx_2 + 2y_2 = 25$

$9b + 2(8) = 25$

$9b + 16 = 25$

$9b = 9$

$b = 1$

連立方程式1の解は、$x_1 = y_2 = 8, y_1 = x_2 = 9$ である。

$4x_1 - y_1 = a$

$4(8) - 9 = a$

$32 - 9 = a$

$a = 23$

3. 最終的な答え

$a = 23$

$b = 1$