2次不等式 $x^2 - 2mx - 4m + 5 > 0$ の解がすべての実数であるとき、定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次不等式 $x^2 - 2mx - 4m + 5 > 0$ の解がすべての実数であるとき、定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

2次不等式 $ax^2 + bx + c > 0$ の解がすべての実数である条件は、$a > 0$ かつ判別式 $D = b^2 - 4ac < 0$ であることです。

与えられた不等式 $x^2 - 2mx - 4m + 5 > 0$ において、$a = 1 > 0$ なので、判別式 $D$ の条件だけを考えれば良いです。

判別式 $D$ を計算します。

$D = (-2m)^2 - 4(1)(-4m + 5) = 4m^2 + 16m - 20$

$D < 0$ となる $m$ の範囲を求めるので、

$4m^2 + 16m - 20 < 0$

両辺を4で割ると、

$m^2 + 4m - 5 < 0$

左辺を因数分解すると、

$(m + 5)(m - 1) < 0$

したがって、$m$ の範囲は $-5 < m < 1$ となります。

3. 最終的な答え

$-5 < m < 1$