次の和 $S$ を求めます。 $S = 1 + \frac{1}{1+2} + \frac{1}{1+2+3} + \dots + \frac{1}{1+2+3+\dots+n}$

1. 問題の内容

次の和 $S$ を求めます。

$S = 1 + \frac{1}{1+2} + \frac{1}{1+2+3} + \dots + \frac{1}{1+2+3+\dots+n}$

2. 解き方の手順

まず、一般項を求めます。

$1$ から $k$ までの和は $\frac{k(k+1)}{2}$ で表されるので、第 $k$ 項は $\frac{1}{\frac{k(k+1)}{2}} = \frac{2}{k(k+1)}$ となります。したがって、$S$ は次のように表されます。

$S = 1 + \sum_{k=2}^{n} \frac{2}{k(k+1)}$

ここで、部分分数分解を用いて $\frac{2}{k(k+1)}$ を分解します。

$\frac{2}{k(k+1)} = 2(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1})$

よって、

$S = 1 + \sum_{k=2}^{n} 2(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1})$

$S = 1 + 2 \sum_{k=2}^{n} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1})$

$\sum_{k=2}^{n} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1})$ は telescoping sum なので、

$\sum_{k=2}^{n} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}) = (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1}$

したがって、

$S = 1 + 2(\frac{1}{2} - \frac{1}{n+1})$

$S = 1 + 1 - \frac{2}{n+1}$

$S = 2 - \frac{2}{n+1}$

$S = \frac{2(n+1) - 2}{n+1}$

$S = \frac{2n+2 - 2}{n+1}$

$S = \frac{2n}{n+1}$

3. 最終的な答え

$\frac{2n}{n+1}$