数列 $\{a_n\}$ が与えられた漸化式 $a_{n+2} + 6a_{n+1} + 8a_n = 0$ と初期条件 $a_1 = 1$, $a_2 = 3$ を満たすとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられた漸化式 $a_{n+2} + 6a_{n+1} + 8a_n = 0$ と初期条件 $a_1 = 1$, $a_2 = 3$ を満たすとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた漸化式の特性方程式を求める。

特性方程式は

$x^2 + 6x + 8 = 0$

となる。この方程式を解く。

$(x+2)(x+4) = 0$

より、特性解は $x = -2, -4$ である。

したがって、数列 $\{a_n\}$ の一般項は、定数 $A, B$ を用いて

$a_n = A(-2)^n + B(-4)^n$

と表される。

次に、初期条件 $a_1 = 1$, $a_2 = 3$ を用いて $A, B$ を決定する。

$n = 1$ のとき $a_1 = A(-2)^1 + B(-4)^1 = -2A - 4B = 1$

$n = 2$ のとき $a_2 = A(-2)^2 + B(-4)^2 = 4A + 16B = 3$

という連立方程式を得る。これを解く。

まず、$-2A - 4B = 1$ を 2 倍すると $-4A - 8B = 2$ となる。

次に、$4A + 16B = 3$ と $-4A - 8B = 2$ を足し合わせると $8B = 5$ となるので、

$B = \frac{5}{8}$

これを $-2A - 4B = 1$ に代入すると

$-2A - 4(\frac{5}{8}) = 1$

$-2A - \frac{5}{2} = 1$

$-2A = \frac{7}{2}$

$A = -\frac{7}{4}$

よって、$A = -\frac{7}{4}, B = \frac{5}{8}$ である。

したがって、一般項 $a_n$ は

$a_n = -\frac{7}{4}(-2)^n + \frac{5}{8}(-4)^n$

$a_n = -\frac{7}{4}(-2)^n + \frac{5}{8}(-1)^n 4^n$

3. 最終的な答え

$a_n = -\frac{7}{4}(-2)^n + \frac{5}{8}(-4)^n$