与えられた順列 $f = (5\ 4)(6\ 4\ 7\ 9\ 2)$ を転置の積として表し、その逆元 $f^{-1}$ を転置の積として表す問題です。

1. 問題の内容

与えられた順列 $f = (5\ 4)(6\ 4\ 7\ 9\ 2)$ を転置の積として表し、その逆元 $f^{-1}$ を転置の積として表す問題です。

2. 解き方の手順

(a) $f$ を転置の積として表す。

まず、$f$ の巡回置換を分解します。

$f = (5\ 4)(6\ 4\ 7\ 9\ 2) = (2\ 6\ 4\ 7\ 9)(4\ 5) = (2\ 6\ 4\ 7\ 9)(5\ 4)$

ここで、巡回置換 $(2\ 6\ 4\ 7\ 9)$ は以下の転置の積として表せます。

$(2\ 6\ 4\ 7\ 9) = (2\ 9)(2\ 7)(2\ 4)(2\ 6)$

したがって、$f$ は転置の積として以下のように表せます。

$f = (2\ 9)(2\ 7)(2\ 4)(2\ 6)(5\ 4)$

(b) $f^{-1}$ を転置の積として表す。

$f = (5\ 4)(6\ 4\ 7\ 9\ 2)$ の逆元 $f^{-1}$ を求めます。

$f^{-1} = (6\ 4\ 7\ 9\ 2)^{-1}(5\ 4)^{-1} = (2\ 9\ 7\ 4\ 6)(4\ 5)$

巡回置換 $(2\ 9\ 7\ 4\ 6)$ は以下の転置の積として表せます。

$(2\ 9\ 7\ 4\ 6) = (2\ 6)(2\ 4)(2\ 7)(2\ 9)$

したがって、$f^{-1}$ は転置の積として以下のように表せます。

$f^{-1} = (2\ 6)(2\ 4)(2\ 7)(2\ 9)(4\ 5)$

3. 最終的な答え

(a) $f = (2\ 9)(2\ 7)(2\ 4)(2\ 6)(5\ 4)$

(b) $f^{-1} = (2\ 6)(2\ 4)(2\ 7)(2\ 9)(4\ 5)$