順列 $f = (54)(64792)$ が与えられたとき、$f$ の逆順列 $f^{-1}$ を求める問題です。$f$ は互換の積として与えられています。

1. 問題の内容

順列 $f = (54)(64792)$ が与えられたとき、$f$ の逆順列 $f^{-1}$ を求める問題です。$f$ は互換の積として与えられています。

2. 解き方の手順

まず、$f$ を置換として記述します。

$f = (54)(64792)$ は、

$1 \mapsto 1$

$2 \mapsto 6$

$3 \mapsto 3$

$4 \mapsto 7$

$5 \mapsto 4$

$6 \mapsto 4 \mapsto 5$

$7 \mapsto 9$

$8 \mapsto 2$

$9 \mapsto 2$

とすると、間違いです。

$f = (54)(64792)$は、

$1 \to 1$

$2 \to 6$

$4 \to 7$

$7 \to 9$

$9 \to 2$

$6 \to 4$

$5 \to 4 \to 5$

正しくは

$1 \mapsto 1$

$2 \mapsto 6$

$3 \mapsto 3$

$4 \mapsto 7$

$5 \mapsto 5$

$6 \mapsto 4$

$7 \mapsto 9$

$8 \mapsto 8$

$9 \mapsto 2$

したがって、$f = (2\ 6\ 4\ 7\ 9)$です。

$f^{-1}$ は $f$ の逆置換なので、$f$ の対応を逆にしたものです。

つまり、

$1 \mapsto 1$

$6 \mapsto 2$

$4 \mapsto 6$

$7 \mapsto 4$

$9 \mapsto 7$

$2 \mapsto 9$

$3 \mapsto 3$

$5 \mapsto 5$

$8 \mapsto 8$

したがって、$f^{-1}=(2\ 9\ 7\ 4\ 6)$です。

これは、$f^{-1}=(6\ 2)(2\ 9\ 7\ 4)$でも表せるので、順番に適用して

$2 \to 9$

$9 \to 7$

$7 \to 4$

$4 \to 6$

$6 \to 2$

$(6\ 2)(2\ 9\ 7\ 4) = (2\ 9\ 7\ 4\ 6)$

$(2\ 9\ 7\ 4\ 6)=(6\ 4\ 7\ 9\ 2)$

$f=(54)(64792)$なので逆順にして

$f^{-1}=(29746)(45)=(29746)(54)$

3. 最終的な答え

$(2\ 9\ 7\ 4\ 6)$ または $(64792)(54)$ または $(2\ 9\ 7\ 4\ 6)(5)$

$f^{-1} = (29746) = (64792)^{-1}$なので、$f^{-1}=(64792)^{-1}(54)^{-1} = (29746)(45)=(29746)(54)$

最終的な答え: (64792)(54)