問題は、集合 $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ 上の置換 $f = (54)(64792)$ が与えられたとき、 (a) $f$ を転置の積として表し、 (b) $f^{-1}$ を転置の積として表す、というものです。

1. 問題の内容

問題は、集合 $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ 上の置換 $f = (54)(64792)$ が与えられたとき、

(a) $f$ を転置の積として表し、

(b) $f^{-1}$ を転置の積として表す、というものです。

2. 解き方の手順

(a) $f = (54)(64792)$ を転置の積として表す。

まず、$f$ をサイクル記法で表します。

$f = (54)(64792)$ は、

- 1 は 1 に移る

- 2 は 6 に移る

- 3 は 3 に移る

- 4 は 5 に移る

- 5 は 4 に移る

- 6 は 4 に移る

- 7 は 9 に移る

- 8 は 8 に移る

- 9 は 2 に移る

これを追うと、以下のようになります。

1 -> 1

2 -> 6 -> 4 -> 5 -> 4と6は交換し、7 -> 9 -> 2

3 -> 3

8 -> 8

よって、サイクル記法では、$f = (264579)$ となります。

サイクル $(264579)$ を転置の積として表すには、以下のようにします。

$(264579) = (29)(27)(25)(24)(26)$

したがって、$f = (29)(27)(25)(24)(26)$ です。

(b) $f^{-1}$ を転置の積として表す。

$f = (264579)$ なので、$f^{-1} = (297546)^{-1} = (975462)$ となります。

同様に、サイクル $(975462)$ を転置の積として表すと、以下のようになります。

$(975462) = (92)(96)(94)(95)(97)$

したがって、$f^{-1} = (92)(96)(94)(95)(97)$ です。

3. 最終的な答え

(a) $f = (29)(27)(25)(24)(26)$

(b) $f^{-1} = (92)(96)(94)(95)(97)$