整数 $a$ を4で割ると3余り、整数 $b$ を8で割ると5余るとき、$a+b$, $2a-3b$, $a^2 - b^2$ をそれぞれ4で割った余りを求める問題です。

1. 問題の内容

整数 $a$ を4で割ると3余り、整数 $b$ を8で割ると5余るとき、$a+b$, $2a-3b$, $a^2 - b^2$ をそれぞれ4で割った余りを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$a$ と $b$ をそれぞれ4で割った余りを求めます。

$a$ を4で割ると3余るので、$a \equiv 3 \pmod{4}$ です。

$b$ を8で割ると5余るので、$b = 8k + 5$ と表せます（$k$ は整数）。

$b$ を4で割ると、$b = 4(2k) + 5 = 4(2k+1) + 1$ となるので、$b \equiv 1 \pmod{4}$ です。

(1) $a+b$ を4で割った余りを求める。

$a+b \equiv 3 + 1 \pmod{4}$

$a+b \equiv 4 \equiv 0 \pmod{4}$

したがって、$a+b$ を4で割った余りは0です。

(2) $2a-3b$ を4で割った余りを求める。

$2a-3b \equiv 2(3) - 3(1) \pmod{4}$

$2a-3b \equiv 6 - 3 \pmod{4}$

$2a-3b \equiv 3 \pmod{4}$

したがって、$2a-3b$ を4で割った余りは3です。

(3) $a^2 - b^2$ を4で割った余りを求める。

$a^2 - b^2 \equiv 3^2 - 1^2 \pmod{4}$

$a^2 - b^2 \equiv 9 - 1 \pmod{4}$

$a^2 - b^2 \equiv 8 \equiv 0 \pmod{4}$

したがって、$a^2 - b^2$ を4で割った余りは0です。

3. 最終的な答え

$a+b$ を4で割った余りは 0 です。

$2a-3b$ を4で割った余りは 3 です。

$a^2 - b^2$ を4で割った余りは 0 です。