与えられた定積分を計算します。 問題は、次の定積分の和を計算することです。 $\int_{-1}^{1}(-6x^2+12x+7)dx + \int_{1}^{2}(-6x^2+12x+7)dx + \int_{2}^{2}(-6x^2+12x+7)dx$

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算します。

問題は、次の定積分の和を計算することです。

$\int_{-1}^{1}(-6x^2+12x+7)dx + \int_{1}^{2}(-6x^2+12x+7)dx + \int_{2}^{2}(-6x^2+12x+7)dx$

2. 解き方の手順

まず、与えられた定積分の性質を利用します。積分区間が連続している場合、積分をまとめることができます。

$\int_{a}^{b}f(x)dx + \int_{b}^{c}f(x)dx = \int_{a}^{c}f(x)dx$

これを用いて、最初の2つの積分をまとめます。

$\int_{-1}^{1}(-6x^2+12x+7)dx + \int_{1}^{2}(-6x^2+12x+7)dx = \int_{-1}^{2}(-6x^2+12x+7)dx$

また、$\int_{a}^{a}f(x)dx = 0$であるため、$\int_{2}^{2}(-6x^2+12x+7)dx = 0$です。

したがって、求める定積分は、

$\int_{-1}^{2}(-6x^2+12x+7)dx$

となります。

次に、不定積分を計算します。

$\int(-6x^2+12x+7)dx = -6\int x^2 dx + 12\int x dx + 7\int 1 dx = -6\frac{x^3}{3} + 12\frac{x^2}{2} + 7x + C = -2x^3 + 6x^2 + 7x + C$

ここで、$F(x) = -2x^3 + 6x^2 + 7x$とおきます。

定積分を計算します。

$\int_{-1}^{2}(-6x^2+12x+7)dx = F(2) - F(-1) = (-2(2)^3 + 6(2)^2 + 7(2)) - (-2(-1)^3 + 6(-1)^2 + 7(-1)) = (-16 + 24 + 14) - (2 + 6 - 7) = 22 - 1 = 21$

3. 最終的な答え

21