与えられた数式の計算と、分母の有理化を行う問題です。具体的には、以下の3つの大問があります。 * 大問5：根号を含む数の加減算 * 大問6：根号を含む数の乗法、展開、および2乗の計算 * 大問7：分母に根号を含む分数の有理化

1. 問題の内容

与えられた数式の計算と、分母の有理化を行う問題です。具体的には、以下の3つの大問があります。

* 大問5：根号を含む数の加減算

* 大問6：根号を含む数の乗法、展開、および2乗の計算

* 大問7：分母に根号を含む分数の有理化

2. 解き方の手順

以下、各大問ごとに解答と手順を示します。

**大問5**

(1) $4\sqrt{2} + 5\sqrt{2}$

$\sqrt{2}$ を共通因数としてまとめる：

$4\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = (4+5)\sqrt{2} = 9\sqrt{2}$

(2) $7\sqrt{3} + 3\sqrt{5} - 4\sqrt{3} + 2\sqrt{5}$

$\sqrt{3}$ と $\sqrt{5}$ をそれぞれまとめる：

$7\sqrt{3} - 4\sqrt{3} + 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = (7-4)\sqrt{3} + (3+2)\sqrt{5} = 3\sqrt{3} + 5\sqrt{5}$

(3) $\sqrt{24} + \sqrt{54} - \sqrt{6}$

根号の中を素因数分解し、簡単にできる形に変形する：

$\sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = 2\sqrt{6}$

$\sqrt{54} = \sqrt{9 \times 6} = 3\sqrt{6}$

よって、$\sqrt{24} + \sqrt{54} - \sqrt{6} = 2\sqrt{6} + 3\sqrt{6} - \sqrt{6} = (2+3-1)\sqrt{6} = 4\sqrt{6}$

(4) $\sqrt{8} + \sqrt{72} - \sqrt{18}$

根号の中を素因数分解し、簡単にできる形に変形する：

$\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$

$\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}$

$\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$

よって、$\sqrt{8} + \sqrt{72} - \sqrt{18} = 2\sqrt{2} + 6\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = (2+6-3)\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$

**大問6**

(1) $\sqrt{5}(\sqrt{15} + 3)$

分配法則を用いて展開する：

$\sqrt{5} \times \sqrt{15} + \sqrt{5} \times 3 = \sqrt{5 \times 15} + 3\sqrt{5} = \sqrt{75} + 3\sqrt{5} = \sqrt{25 \times 3} + 3\sqrt{5} = 5\sqrt{3} + 3\sqrt{5}$

(2) $(3\sqrt{2} + \sqrt{5})(2\sqrt{2} - \sqrt{5})$

展開する：

$(3\sqrt{2} + \sqrt{5})(2\sqrt{2} - \sqrt{5}) = 3\sqrt{2} \times 2\sqrt{2} - 3\sqrt{2} \times \sqrt{5} + \sqrt{5} \times 2\sqrt{2} - \sqrt{5} \times \sqrt{5} = 6 \times 2 - 3\sqrt{10} + 2\sqrt{10} - 5 = 12 - \sqrt{10} - 5 = 7 - \sqrt{10}$

(3) $(\sqrt{7} - \sqrt{2})^2$

展開する：

$(\sqrt{7} - \sqrt{2})^2 = (\sqrt{7})^2 - 2 \times \sqrt{7} \times \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 7 - 2\sqrt{14} + 2 = 9 - 2\sqrt{14}$

(4) $(\sqrt{3} + \sqrt{7})(\sqrt{3} - \sqrt{7})$

和と差の積の公式 $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ を用いる：

$(\sqrt{3} + \sqrt{7})(\sqrt{3} - \sqrt{7}) = (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{7})^2 = 3 - 7 = -4$

**大問7**

(1) $\frac{1}{\sqrt{3}}$

分母と分子に $\sqrt{3}$ をかける：

$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

(2) $\frac{10\sqrt{7}}{\sqrt{5}}$

分母と分子に $\sqrt{5}$ をかける：

$\frac{10\sqrt{7}}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{7} \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{35}}{5} = 2\sqrt{35}$

(3) $\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$

分母の共役な複素数 $\sqrt{5} - \sqrt{2}$ を分母と分子にかける：

$\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \frac{1 \times (\sqrt{5} - \sqrt{2})}{(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{5 - 2} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{3}$

(4) $\frac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{5} + 2}$

分母の共役な複素数 $\sqrt{5} - 2$ を分母と分子にかける：

$\frac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{5} + 2} = \frac{(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} - 2)}{(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2)} = \frac{(\sqrt{5} - 2)^2}{5 - 4} = \frac{5 - 4\sqrt{5} + 4}{1} = 9 - 4\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

**大問5**

(1) $9\sqrt{2}$

(2) $3\sqrt{3} + 5\sqrt{5}$

(3) $4\sqrt{6}$

(4) $5\sqrt{2}$

**大問6**

(1) $5\sqrt{3} + 3\sqrt{5}$

(2) $7 - \sqrt{10}$

(3) $9 - 2\sqrt{14}$

(4) $-4$

**大問7**

(1) $\frac{\sqrt{3}}{3}$

(2) $2\sqrt{35}$

(3) $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{3}$

(4) $9 - 4\sqrt{5}$