$\sqrt{5+\sqrt{24}}$ の二重根号を外して簡単にせよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{5+\sqrt{24}}$ の二重根号を外して簡単にせよ。

2. 解き方の手順

二重根号 $\sqrt{a+\sqrt{b}}$ を外すには、$\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} + \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$ を利用します。

まず、$\sqrt{24}$ を $2\sqrt{6}$ の形にします。

$\sqrt{5+\sqrt{24}} = \sqrt{5+2\sqrt{6}}$

次に、二重根号を外す公式を適用するために、$5+2\sqrt{6} = (\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 = x+y+2\sqrt{xy}$ となるような $x$ と $y$ を探します。

つまり、$x+y = 5$ かつ $xy = 6$ を満たす $x$ と $y$ を探します。

この条件を満たすのは、$x=2$ と $y=3$ もしくは $x=3$ と $y=2$ です。

今回は、簡単のため、$x=2$, $y=3$ とします。

すると、

$\sqrt{5+2\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2}$ となります。

$\sqrt{2} < \sqrt{3}$ なので、 $\sqrt{3} + \sqrt{2} > 0$ なので、

$\sqrt{(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{3} + \sqrt{2}$