与えられた極限を計算する問題です。 $$ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 3x}{x^2} $$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算する問題です。

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\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 3x}{x^2}

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2. 解き方の手順

この極限は、ロピタルの定理を使うか、三角関数の倍角の公式と基本的な極限を使うことで解くことができます。今回は後者の方法で解きます。

ステップ1: 分母と分子に $1 + \cos 3x$ を掛けます。

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\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 3x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{(1 - \cos 3x)(1 + \cos 3x)}{x^2 (1 + \cos 3x)}

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ステップ2: 分子を計算し、三角関数の恒等式 $1 - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta$ を適用します。

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\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos^2 3x}{x^2 (1 + \cos 3x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 3x}{x^2 (1 + \cos 3x)}

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ステップ3: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ という基本的な極限を利用するために、$\frac{\sin 3x}{3x}$ の形を作ります。

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\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 3x}{x^2 (1 + \cos 3x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 3x}{(3x)^2} \cdot \frac{9x^2}{x^2} \cdot \frac{1}{1 + \cos 3x}

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ステップ4: 極限を計算します。

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\lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin 3x}{3x}\right)^2 \cdot 9 \cdot \frac{1}{1 + \cos 3x} = (1)^2 \cdot 9 \cdot \frac{1}{1 + 1}

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ステップ5: 計算を整理します。

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1 \cdot 9 \cdot \frac{1}{2} = \frac{9}{2}

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3. 最終的な答え

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\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 3x}{x^2} = \frac{9}{2}

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