$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 3x}{x^2}$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 3x}{x^2}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ の公式を利用して、分子を変形する。

$$1 - \cos 3x = 2 \sin^2 \frac{3x}{2}$$

したがって、

$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 3x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2 \frac{3x}{2}}{x^2}$$

次に、$y = \frac{3x}{2}$ とおくと、$x = \frac{2}{3} y$ であり、$x \to 0$ のとき $y \to 0$ である。よって、

$$\lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2 \frac{3x}{2}}{x^2} = \lim_{y \to 0} \frac{2 \sin^2 y}{(\frac{2}{3}y)^2} = \lim_{y \to 0} \frac{2 \sin^2 y}{\frac{4}{9}y^2} = \lim_{y \to 0} \frac{18}{4} \frac{\sin^2 y}{y^2} = \frac{9}{2} \lim_{y \to 0} (\frac{\sin y}{y})^2$$

$\lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y} = 1$ であるから、

$$\frac{9}{2} \lim_{y \to 0} (\frac{\sin y}{y})^2 = \frac{9}{2} \cdot 1^2 = \frac{9}{2}$$

3. 最終的な答え

$\frac{9}{2}$