ある中学校の生徒140人を対象に、国語、数学、英語の得意・不得意を調査した。各科目の得意な人数、2科目の得意な人数、どの科目も得意でない人数などが与えられている。 (1) 3科目全てが得意な人数を求める。 (2) 3科目中1科目のみが得意な人数を求める。

1. 問題の内容

ある中学校の生徒140人を対象に、国語、数学、英語の得意・不得意を調査した。各科目の得意な人数、2科目の得意な人数、どの科目も得意でない人数などが与えられている。

(1) 3科目全てが得意な人数を求める。

(2) 3科目中1科目のみが得意な人数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 3科目全てが得意な人数を求める。

* まず、生徒全体からどの科目も得意でない生徒の数を引く。$140 - 20 = 120$ (少なくとも1つ以上の科目を得意とする人数)

* 次に、国語または英語が得意な人数が101人であることから、国語と英語の両方が得意な人数と、国語が得意な人数、英語が得意な人数を使って、英語が得意な人数を求める。

$n(国 \cup 英) = n(国) + n(英) - n(国 \cap 英)$

$101 = 86 + n(英) - 15$

$n(英) = 101 - 86 + 15 = 30$

* 数学または英語が得意な人数が55人であることから、数学と英語の両方が得意な人数を求める。

$n(数 \cup 英) = n(数) + n(英) - n(数 \cap 英)$

$55 = 40 + 30 - n(数 \cap 英)$

$n(数 \cap 英) = 40 + 30 - 55 = 15$

* 3科目全てが得意な人数を $x$ とする。国語と数学が得意な人数は18人なので、国語と数学だけが得意な人数は $18 - x$ 人。同様に、国語と英語だけが得意な人数は $15 - x$ 人、数学と英語だけが得意な人数は $15 - x$ 人。

* 国語だけが得意な人数は $86 - (18 - x) - (15 - x) - x = 86 - 18 + x - 15 + x - x = 53 + x$ 人。

* 数学だけが得意な人数は $40 - (18 - x) - (15 - x) - x = 40 - 18 + x - 15 + x - x = 7 + x$ 人。

* 英語だけが得意な人数は $30 - (15 - x) - (15 - x) - x = 30 - 15 + x - 15 + x - x = x$ 人。

* 少なくとも1つ以上の科目を得意とする人数は120人なので、

$(53 + x) + (7 + x) + x + (18 - x) + (15 - x) + (15 - x) + x = 120$

$53 + 7 + 18 + 15 + 15 + x = 108 + x = 120$

$x = 12$

(2) 3科目中1科目のみが得意な人数を求める。

* 国語だけが得意な人数は $53 + x = 53 + 12 = 65$ 人。

* 数学だけが得意な人数は $7 + x = 7 + 12 = 19$ 人。

* 英語だけが得意な人数は $x = 12$ 人。

* したがって、1科目のみが得意な人数は $65 + 19 + 12 = 96$ 人。

3. 最終的な答え

(1) 3科目のすべてが得意な人数：12人

(2) 3科目中1科目のみが得意な人数：96人